文档介绍：第一章函数与极限
函数
极限的概念
极限的性质
两个重要极限
无穷小量与无穷大量
函数的连续性
.
=
=
=
=
例1
例2
由于
注意:
(i) 无穷小是函数。不可把无穷小与很小的数或绝对值很小很小的数混为一谈。
(ii) 一个函数是否为无穷小与自变量的趋限过程有关。
(iii) 零是可以作为无穷小的唯一的数。
§3 无穷小和无穷大
一、无穷小量--绝对值无限变小的函数
若则称函数为(相应趋限过程下的)无穷小(量)。
定义1
定理1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。
定理2 有界函数与无穷小的积仍是无穷小。
推论1 常数与无穷小的积仍是无穷小。
推论2 有限个无穷小的积仍是无穷小。
2、性质
思考无限个无穷小的和(积)可能不再是无穷小。
解:
例1
当时,函数是无穷小,
而是有界函数,
根据定理 2 可得,
求极限
二、无穷大量--绝对值无限变大的函数
若则称函数为(相应趋限过程下的)无穷大(量)。
定义2
(无穷小与无穷大的关系)在同一趋限过程中,
(1)若是无穷大,则是无穷小;
(2)若是无穷小,则是无穷大。
性质
三、无穷小的比较—五十步“笑”百步
1
2
3
10
100
1000
1
1
(1)若则称是的高阶无穷小。
定义3
对于某趋限过程,有, 。
(2)若则称是的同阶无穷小。
(3)若则称是的等价无穷小。
(4)若则称是的k价无穷小。