文档介绍：第二章
二、无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
一、无穷小
第三节
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无穷小与无穷大
当
一、无穷小
定义1 . 若
时, 函数
则称函数
例如:
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
为
时的无穷小.
时为无穷小.
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说明:
除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!
因为
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
C
时, 函数
(或)
则称函数
为
定义1. 若
(或)
则
时的无穷小.
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其中为
时的无穷小量.
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系)
证:
当
时,有
对自变量的其它变化过程类似可证.
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二、无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 ,
一切满足不等式
的 x , 总有
则称函数
当
时为无穷大,
使对
若在定义中将①式改为
①
则记作
(正数 X ) ,
记作
总存在
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注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大, 必定无界. 但反之不真!
例如, 函数
当
但
所以
时,
不是无穷大!
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例. 证明
证: 任给正数 M ,
要使
即
只要取
则对满足
的一切 x , 有
所以
若
则直线
为曲线
的铅直渐近线.
渐近线
说明:
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三、无穷小与无穷大的关系
若
为无穷大,
为无穷小;
若
为无穷小, 且
则
为无穷大.
则
(自证)
据此定理, 关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论.
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
说明:
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系
Th1
3. 无穷小与无穷大的关系
Th2
思考与练习
两个无穷小的商是否一定是无穷小?
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