文档介绍：三种功率谱估计方法性能研究
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我们已经知道一个随机信号本身的傅里叶变换并不存在,因此无法像确定性信号一样用数字表达式来精确表达它,而只能用各种统计平均量来表征它. 其中,,可以用功率谱密度来表征它的统计平均谱密度(PSD). 跟据维纳辛钦定理,广义平稳随机过程的功率谱是自相关函数的傅里叶变换,它取决于无数多个自相关函数值. 但对于许多实际应用中,可资利用的观测数据往往是有限的,,这就是功率谱估计. 也就是说,功率谱估计是根据平稳随机过程的有限个观测值,来估计该随机过程的功率谱密度.
功率谱估计的评价指标包括客观度量和统计度量. 在客观度量中,,方差,均方误差,,,利用统计度量对不同的谱估计方法进行比较是不妥当的,只能用来对某种谱估计方法进行描述,并且一般只用来描述古典谱估计方法,因为现代谱估计方法往往用于短数据情况.
功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。通常将傅里叶变换为理论基础的谱估计方法叫做古典谱估计或经典谱估计;,自相关法及其改进方法. 现代功率谱估计方法主要有基于参数模型的自相关法、Burg 算法、改进的协方差方法等,基于非参数模型的MUSIC 算法、特征向量方法等。本文选取比较有代表性周期图法, Burg 算法、Yule-Wallker法(自相关法)算法进行计算机仿真,通过仿真发现了这些算法各自的优缺点,并进行归纳总结。
2三种算法的基本理论
周期图法
周期图法又称直接法,其具体步骤如下:
第一步: 由获得的N点数据构成的有限长序列直接求傅里叶变换,得频谱,即
(1)
第二步: 取频谱幅度的平方,并除以N,以此作为对的真实功率谱的估计,即
(2)
综上所述,先用FFT求出宿疾随机离散信号N点的DFT,再计算幅频特性的平方,然后除以N,即得出该随机信号得功率谱估计。由于这种估计方法在把R(r)离散化的同时,使其功率谱周期化,故称之为“周期图法”,也称为经典谱估计方法。周期图法进行谱估计,是有偏估计,由于卷积的运算过程会导致功率谱真实值的尖峰附近产生泄漏,相对地平滑了尖峰值,因此造成谱估计的失真。另外,当一∞时,功率谱估计的方差不为零,所以不是一致性估计。并且功率谱估计在等于2兀/N整数倍的各数字频率点互不相关。其谱估计的波动比较显著,特别是当N越大、2丌/N越小时,波动越明显。但如果N取得太小,又会造成分辨率的下
降。
周期图法谱估计运算框图如下图所示,图中用FFT完成傅里叶变换。
周期图法谱估计运算框图
Burg算法
Burg于1976年提出最大熵谱估计,后来又在另一篇文章中提出直接由时间序列估计模型系数的方法,被人们称为Burg算法。这种算法与预测误差格型滤波器有密切的关系。
Burg算法不是直接估计AR模型的参数,而是先估计反射系数,再利用Levinson关系式求得AR模型参数。估计反射系数所依据的原则是,是前后预测误差的平均值达到最小。需要指出的是,Burg算法是将FPE功率与BPE功率的算术平均作为平均预测误差功率,即
(3)
式中各阶前项预测误差和后项预测误差有下面的递推公式即
(4)
计算。所得的反射系数的估计公式为
(5)

上式中预测误差的求和范围表明,Burg算法采用的数据加窗方法是协方差法,不含对已知数据段之外的数据的人为假设。
需要指出的是,Burg算法的递推仍然受到Levinson递推关系的约束,也就是说,当由前后向预测误差求出反射系数后,m阶AR模型的其他系数均由Levinson关系式
(6)

递推求得。
其功率谱估计为
(7)
Yule-Wallker法(自相关法)
Yule-Wallker法是通过解Yule-Wallker方程获得AR模型参数。Levinson-Durbin算法是一种解Yule-Wallker 方程的高效算法。该算法用信号p+1个自相关函数值解出AR模型的p+1个参数,递推公式为

(8)
其中,m=1,2,3,…,而= 。上式用来计算m阶AR模型的反射系数,它用到自相关函数序列,是Levinson-Durbin算法的一个特点。
在实际的应用中,自相关函数值只能根据有限的数据记录去估算