文档介绍：《微积分初步》应用题
上镜率:2011年7月,2010年7月,2007年7月
1、欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?
解:
设长方体底边边长为,高为
因为,所以有
表面积

令得(唯一驻点)
由实际问题知,当底边长为6,高为时,用料最省。
【分析,(1)其中
(2)有
两边同乘以得到
两边同除以2得到
所以解得
(3)应用结论:实际问题中一定存在最值,唯一的驻点是极大(小)值点,也一定是最大(小)值点。
(4)如果此题中的108换成其他数字如32,同理可做】
上镜率:2011年1月, 2009年1月
2、欲做一个底为正方形,容积为32立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?
解:设长方体底边边长为,高为
因为,所以有
表面积

令得(唯一驻点)
由实际问题知,当底边长为4,高为时,用料最省。
上镜率:2011年1月, 2008年7月
3、用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱,已知钢板每平方米10元,焊接
费40元,问水箱的尺寸如何选择,可使总费最低?最低总费是多少?
解:
设水箱的底边长为,则有高
表面积
所以
令得(唯一驻点)
有实际问题知,当底边长为2,高为1时表面积最小,费用最低
此时最低费用为(元)。
上镜率:2008年1月
4、设矩形周长为120厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体,试求矩形的边长为多少时,才能使圆柱体的体积最大。
解:
设矩形一边为,则另一边旋转轴为
圆柱体体积为
所以
令得(舍),(唯一驻点)
由实际问题知,当矩形一边为40,一边为20,且短边为旋转轴时圆柱体体积最大。
上镜率:2007年1月
5、欲用围墙围成面积为216立方米的一块矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省?
解:设土地一边为,另一边为,
用料及长度为
令得(舍),(唯一驻点)
由实际问题知,当土地一边为12,另一边为18时,用料最省