文档介绍：Burgers 模型是由马克思威尔模型(M 体)与开尔文模型(K 体)串联组合的
结构模型。
设马克思威尔模型与开尔文模型应变分别为ε1 、ε2,串联后总的应变为两个
应变的相加,而应力相等,故有:ε=ε1 =ε2 σ=σ1 +σ2
将上述方程式中消去ε1 、ε2,即可得到Burgers 模型的蠕变本构关系:
σ+(η1E1+η1+η2E2)σ+η1η2E1E2σ=η1ε+η1η2E2ε()
或σ+p1σ+p2σ=q1ε+q2ε()
式中,p1=η1E1+η1+η2E2,p2=η1η2E1E2,q1=η1,q2=η1η2E2
三维张量方程为:
S'+p1S'+p1S' =2q1e'+q1e' ()
式()、式()与式()均为H-K 模型的本构方程式。
应力条件为:S'=S0' =恒量,初始条件为:t*=0, e'=e0'=S0'2E1 。这里应用拉普拉斯(Laplace)变换进行蠕变方程的推导,对于瞬时加载时间引入一个单位
阶梯函数Δ(t ),其定义为:
Δ(t )0 ,t<01 , t>0 ()
因而,应力S'可表示为:S'=S0'Δ(t ) ()
S' 、S'、S'的拉普拉斯变换为:
S'=S0'sS'=sS'-S'0=sS0's-0=S0'S'=s2S'-sS'0-S'(0)=sS0' ()
应变e'的拉普拉斯变化为e',e'的导数的拉普拉斯变换为:
e'=se'-e'0=se'e'=s2e'-se'0-e'0=s2e' ()
对三维本构方程式()进行拉普拉斯变换,以及将式()与式()
代入式(),得
S0's+p1S0'+p2sS0'=2q1se'+2q2s2e' ()
e'=S0'21s2(q1+q2s)+p1s(q1+q2s)+p2q1+q2s ()
对上式进行拉普拉斯逆变换,查表可知:令α=q1q2
L-11s =1 L-11s+α= e-αt L-11s(s+α) = 1α1-e-αt
代入式()整理后可得:
e'= S0'2tq1-q1q21-exp-q1q2t+p1q11-exp-q1q2t+p2q21-exp-q1q2t
=S0'2tq1-p1q1-q2q121-exp-q1q2t+p2q21-exp-q1q2t ()
式()即为Burgers 体蠕变方程,将 p1、p2、q1、q2 代入可得:
e'=S0'2E1+S0'2η1t+S0'2E2q1q21-exp-E2η2t ()
Burgers 体蠕变模型描述介质具有初始瞬时弹性应变、衰减蠕变(I)阶段以及
稳态蠕变(II)阶段。
5)参数识别以及对比分析
目前,煤岩蠕变模型参数确定的方法多为回归反演法、最小二乘法以及蠕变
曲线分解法等。其中,最小二乘法应用最为普遍,但最小二乘法解决非线性问题
其效果并不理想。因此,本项目采用quasi-Newton 算法(BFGS 算法)对煤岩蠕变
模型进行参数识别。
BFGS 算法是由Broyden,Fletcher,Goldfarb 和Shanno 等人在1970 年提出的。
该算法不用计算二阶偏导数