文档介绍：连续时间系统的响应问题
颜优美(200808054012)
摘要:求系统微分方程的解,实际上就是求系统的全响应y(t)。系统微分方程的劝解分为齐次解和特解,线性系统的全响应y(t),可分解为零输入响应yzi(t)与零状态响应yzs(t)。根据激励的作用可分为自由响应和强迫,另一方面根据响应的形态课分为瞬态响应和稳态响应。各响应相互独立,也相互具有关系。
关键词:解响应齐次解特解自由响应强迫响应零输入响应零状态响应暂态响应稳态响应
正文:
时域分析里面可以讨论系统微分方程的齐次解,特解,全解,以及线性系统的全响应,零输入响应,零状态响应,自由响应,强迫响应,瞬态响应和稳态响应。
齐次解特解全解
用微分方程的经典求解法求解:
(一)齐次解
定义:微分方程y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t) (1)
当f(t)=0时,其其次微分方程的解就是齐次解。
表1-1
特征根λ
齐次解
单实根
eλt
Υ重实根
(Cr-1tr-1+Cr-2tr-2+…+C1t+C0)eλt
一对共轭复根λ1,2=α+β
或,其中
Υ重共轭复根
例子1:
求微分方程
的齐次解。
解:特征方程为
特征根为,
齐次解为
(二)特解
定义:特解的函数形式与激励函数形式有关。将激励函数f(t)代入微分方程式(1)的右端,代入后右端的函数式称为“自由项”。通常,由观察自由项在表1-2中选特解函数式,并代入方程,然后求得特解函数式中的特定系数,即可得特解。
表1-2
激励分f(t)
特解yp(t)
tm
所有的特征根均不等于0
有r重等于0的特征根
不等于特征根
等于特征根
等于r重特征根
或
所有的特征根均不等于
或其中
例子2:
给定微分方程式
若已知,求此方程的特解B(t)。
解将e(t)代入方程右端的自由项为
由表2选函数式为
将此式代入方程得
根据等式两端各相同幂次项的系数应相等的原则,可得
联立解得到
所以特解为
(三)全解
定义:全解=齐次解+特解
例子3:描述某系统的微分方程为
(2_1)
求输入,时的全响应。
解特征方程为(2_2)
特征根为
方程的齐次解为
可设方程的特解为
其一,二阶导数分别为
将和f(t)代入式(2_1)得
因上式岁所有的成立,故有
由以上三式可解得P=Q=1,得特解
于是得方程的全解,即系统的全响应为
(2_3)
其一阶导数为
令t=0,并代入初始条件,得
(2_3),最后得该系统的全解
零输入响应零状态响应全响应
在对这两个响应进行讨论时,要考虑其初始状态和起始状态。可用冲击匹配法进行求解。
冲击匹配法的步骤:
将输入f(t)代入微分方程。如等号右端含有及其各阶导数,根据微分方程等号两端各奇异函数的系数相等的原理,判断方程右端y(t)的最高阶导数所含导数的最高阶次。
令,对于进行积分(从-∞到t),逐次求得和
将,和代入微分方程,根据方程等号两端个奇异函数的系数相等,从而求得中的个待定系数。
(4) 分别对和等号两端从0-到0+进行积分,一次求得各0+值y(0+)和