文档介绍：第十四章第十四章
小波变换小波变换
主要内容主要内容
尺度函数尺度函数
二维离散小波变换二维离散小波变换
小波变换小波变换
+∞
小波小波ψ()tdt= 0 || ψ||=1
∫- ∞|| ||=1
小波变换小波变换
+∞
1 * tu−
Wf( u , s )=< f ,ψψψ() t >= f () t ( )dt= f *s ( u )
∫-∞ s s
1 −t
其中其中ψ()t = ψ* ( )
s s s
∧∧*
ψ s ()ωψω= ss ( )
例例墨西哥帽小波是高斯函数的二阶导数,这墨西哥帽小波是高斯函数的二阶导数,这
种小波被最先用于计算机视觉中的多尺度边种小波被最先用于计算机视觉中的多尺度边πσ
缘检测。规范化的墨西哥帽小波是缘检测。规范化的墨西哥帽小波是
2 tt22
ψ()t =−−1 (22 1)exp( )
4 3 σ 2σ
5 1
∧− 8σ 24πσω22
ψ(ωω) =−2 exp( )
3 2
尺度函数尺度函数
Wf(,) u s
若只知道若只知道在尺度在尺度 ss< 0 的信息,为的信息,为
了恢复了恢复 f ,我们需要,我们需要 ss> 0 是是 Wf(,) u s 的信的信
息充分。这可以通过引进尺度函数息充分。这可以通过引进尺度函数φ而做而做
到,它可以看成小波在小于到,它可以看成小波在小于11的尺度的聚合的尺度的聚合
体。其傅立叶变换的模定义如下:体。其傅立叶变换的模定义如下:φω
∧
2
∧∧+∞ ds+∞|ψζ( ) |
|φ(ωψω) |22== | (s ) | dζ
∫∫1 s ωζ
∧φ
()的复相位可以任意选取。||||1= 。
尺度函数可以理解为低通滤波器的脉冲响尺度函数可以理解为低通滤波器的脉冲响
应。记应。记
1 t
φφφφ(ttt )==−( ), ( )* ( )
sss s s
fs在尺度的低频逼近为
1-tu
Lf ( u , s )=< f ( t ), ( )>= f * ( u )
s s s
φφ
构造尺度函数构造尺度函数
构造一个离散小波变换,仅需要一个满足构造一个离散小波变换,仅需要一个满足
某些条件的离散低通滤波器脉冲响应某些条件的离散低通滤波器脉冲响应
hk0()
φ()t
由由hk0 ()能够产生一个有关的函数能够产生一个有关的函数,成,成
为尺度函数。也能够产生为尺度函数。也能够产生hk1()并由它和并由它和
φ()t 产生基本小波产生基本小波ψ()t
且+
∑∑hk00 ( )== 2 hkhk ( )0 ( 2 l )δ( l )
kk
则存在一个尺度函数:
φφ(thktk )=−∑ 0 ( ) (2 )
k
可以通过自身半尺度复制后的加权和加以构可以通过自身半尺度复制后的加权和加以构
造,权重为造,权重为hk0 ()。同时,。同时,hk0 ()也能重复的用也能重复的用
带尺度的矩形脉冲函数卷积带尺度的矩形脉冲函数卷积φ()t ,以数值,以数值
计算方法得到,也就是记:计算方法得到,也就是记:
ηη
φ(xx )= limη i ( )
i→∞
φ
其中
ii (xhnxn )=− 2∑ 01 ( )−(2 )
n
是对(x ) 的一个分布常值近似,并且有:
η⎧1||1/2 x <
⎪
⎪ 1
0 (xx )==∏( ) ⎨| x | = 1/ 2
⎪ 2
⎩⎪0||1/2 x >
下面详细的介绍尺度函数的构造过程下面详细的介绍尺度函数的构造过程
η0()x 为矩形脉冲,具有对称性,所以我们为矩形脉冲,具有对称性,所以我们
只对只对(0)x > 的部分进行尺度函数的构建。的部分进行尺度函数的构建。
η0 ()xx=< 1 | |1/2
i
ηηii(xhnxnin )=−== 2∑ 01 ( )−(2 ) 0,1,...; 0,1,...,2
n