文档介绍：第九章小波变换及其应用
内容提要:本章主要由傅里叶变换的不足引出小波变换的概念和特点,介绍小波变换的基本理论和分析步骤,并以MATLAB为工具介绍小波分析的基本命令和应用实例。
第一节从傅里叶变换到小波变换
前面重点讲述了确定性信号的频域分析、应用以及随机信号分析的基本内容。本节开始介绍常用于非稳态分析的一种新的变换方法——小波变换。
傅里叶变换和傅里叶反变换是同一能量信号的两种不同表现形式,正变换把一个信号函数分解成众多的频率成份,反变换将这些频率成份重构为原来的信号,转换过程中能量保持不变。在采样定理的指导下,离散傅里叶变换(DFT)为计算机实现傅里叶变换提供了理论基础,快速傅里叶变换(FFT)的提出则使傅里叶分析变得实用。
然而,傅里叶变换的作用是有限的,这里主要谈两点。
一是傅里叶变换没有包含时间信息。实际信号中含有大量非稳态的成份,如突变、偏移、趋势、事件的开始、终止等等,其频率特性将随时间而发生变化,对这些信号进行分析时需要提取某一时间段的频域信息或某一频率段的时间信息。
二是傅里叶变换不利于分析时变信号。时变信号可以分段进行研究,对变化快的信号,其频率高,取小的时间间隔有利于提高分析的精度;对变化慢的低频信号,取大的时间间隔才可以收集到完整的信息以进行分析。而傅里叶变换不能实现这样的时-频局部化分析。
(a) Haar小波
(b) Morlet小波
小波的波形可以进行拉伸和压缩,以用以分析信号的轮廓和信号的细节,这种拉伸和压缩变换被称为尺度变换。图9-2为不同尺度的Daubechies小波的示意图,从图中可以看出,尺度值a越小,图形压缩越厉害;反之,尺度值越大,图形拉伸越厉害。
图9-2 不同尺度小波示例