文档介绍：基本不等式及其应用
知识点归纳
1、在不等式的应用中,经常使用的不等式公式有
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若,那么,当且仅当时等号成立。
若,那么,当且仅当时等号成立。
若,那么,当且仅当时等号成立。
推广:如果,那么(当且仅当时取“=”)
2、注意:
①应用公式的条件;②取等号的条件;③广义地理解公式中的字母、;
④公式的逆用、变用:。
定和定积原理:若个正数的和为定值,则当且仅当这各正数相等时积取到最大值;
若个正数的积为定值,则当且仅当这个正数相等时和取到最小值。
3、应用不等式知识解题,关键是建立不等量关系,其途径有:
利用题设中的不等量大小;利用不等式基本性质;利用所涉及对象的概念内涵外延所赋予的不等量大小;利用变量的有界性;利用几何意义;利用判别式;利用不等式基本公式等等
题型讲解
(1)求的最小值。(2)求的最小值。(3)若0<x<, 求x(2-5x)的最大值。解:(1)≥2=8,当且仅当=即x=2时原式有最小值8。
(2)=(+1)+-1≥2-1=4-1;当且仅当+1=即x=9-4时原式有最小值4-1。
(3)∵0<x<, ∴2-5x>0,∴当且仅当5x=2-5x,即x=时,原式有最大值。
(1)已知x>0,求y=的最大值; (2) 求的取值范围。
(1)
从而有。
(2)显然,,
所以,或
因此,的值域为
(1)(06陕西)已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为( )B
A、8 B、6 C、4 D、2
(2)(06天津)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,
(3)已知,,则的最小值.
解:∴===≥=3
(4)“a>b>0”是“ab<”的( ) A
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不允分也不必要条件
(5)(07北京)如果正数满足,那么( ) A
A、,且等号成立时的取值唯一
B、,且等号成立时的取值唯一
C、,且等号成立时的取值不唯一
D、,且等号成立时的取值不唯一
(6)已知实数x、y满足x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy) ( ) B
A、有最小值,也有最大值1 B、有最小值,也有最大值1
C、有最小值,但无最大值 D、有最大值1,但无最小值
若正实数x、y满足的最小值是多少?
分析:本题主要考查最值的求法,函数与方程的思想,均值不等式的应用,化归转化的思想,直线方程与数形结合的思想,以及灵活分析解决数学问题的能力
.
解法一:∵
时取等号.
解法二:
当且仅当时取等号.
解法三:设:
须(∵
解法四成等差数列.
∴设
此题虽然不难,但考查了学生的审题能力,及在解题过程中正确利用各知识点,可以任学生发挥,既训练了学生的发散思维,又可以提高学生综合利用各部分知识的能力.
已知x、y、z∈R+,且求
解:将代入所求代数式,有
又x、y、z∈R+,由重要不等式
∴原式
设x≥0, y≥0, x2+=1,求的最大值为。
分析: ∵x2+=1是常数, ∴x2与的积可能有最大值
∴可把x放到根号里面去考虑,注意到x2与1+y2的积,应处理成2 x2·
解: ∵x≥0, y≥0,