文档介绍：

作业
 
第7章紧致性
§ 紧致空间
本节重点:
掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法.(这些方法哪些是充要条件);
掌握紧致性是否是连续映射可保留的,是否是可遗传的、有限可积的.
在§,我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间,,即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”,-Borel定理断言:实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖.(在§.)因此我们现在作的事也应当在意料之中.
,则称拓扑空间X是一个紧致空间.
明显地,,例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间,但它不是一个紧致空间.

A={(-n,n)R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族
{ },由于它的并为
(-max{},max{})
.
设X是一个拓扑空间,Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间,则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集.
根据定义,拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖,.
设X是一个拓扑空间,.(此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的,也可以是Y的)
证明必要性设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,A是Y的一个覆盖,}也是Y的一个覆盖,,设为
{},于是A的有限子族覆盖Y.
充分性,,∈A存在X中的一个开集使得A=∩}是由X中的开集构成的Y的一个覆盖,所以有一个有限子覆盖,设为
{}
此时易见A的子族{}.
下面介绍关于紧致性的一个等价说法.
(即如果是A的一个有限子族,则),则称A是一个具有有限交性质的集族.
.
证明:≠.如果
,则令A={∈F}.由于

,设为{}.从而

这说明F .
“”,设X中的每一个