ch4：数值积分1.ppt

文档介绍：第4章数值积分/* Numerical Integration */
近似计算
§ Newton-Cotes 公式
思路
利用插值多项式则积分易算。
在[a, b]上取 a  x0 < x1 <…< xn  b,做 f 的 n 次插值多项式,即得到
Ak
由决定,
与无关。
节点
f (x)
插值型积分公式
/*interpolatory quadrature*/
误差
§ Newton-Cotes Formulae
定义
若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足:R[ Pk ]=0 对任意 k  n 阶的多项式成立,且 R[ Pn+1 ]  0 对某个 n+1 阶多项式成立,则称此求积公式的代数精度为 n 。
例:对于[a, b]上1次插值,有
考察其代数精度。
f(x)
a
b
f(a)
f(b)
梯形公式
/* trapezoidal rule*/
解:逐次检查公式是否精确成立
代入 P0 = 1:
=
代入 P1 = x :
=
代入 P2 = x2 :

代数精度= 1
§ Newton-Cotes Formulae
注:形如的求积公式至少有 n 次代数精度该公式为插值型(即: )
当节点等距分布时:
令
Cotes系数
注:Cotes 系数仅取决于 n 和 i,可查表得到。与 f (x) 及区间[a, b]均无关。

§ Newton-Cotes Formulae
n = 1:
Trapezoidal Rule
/* 令 x = a+th, h = ba, 用中值定理*/
代数精度= 1
n = 2:
Simpson’s Rule
代数精度= 3
n = 3: Simpson’s Rule, 代数精度= 3,
n = 4: Cotes Rule, 代数精度= 5,
n 为偶数阶的Newton-Cotes
公式至少有 n+1 次代数精度。
§ 复化求积/* Composite Quadrature */
Haven’t we had enough formulae? What’s up now?
e on,
you don’t seriously consider
h=(ba)/2 acceptable,
do you?
Why can’t you simply
refine the partition if you have to
be so picky?
Don’t you forget
the oscillatory nature of high-
degree polynomials!
Uh-oh
高次插值有Runge 现象,故采用分段低次插值
分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。
复化梯形公式:
在每个上用梯形公式:
= Tn
/*中值定理*/
§ Quadrature
复化 Simpson 公式:
4
4
4
4
4
= Sn
注:为方便编程,可采用另一记法:令 n’= 2n 为偶数, 这时,有
§ Quadrature
收敛速度与误差估计:
定义
若一个积分公式的误差满足且C  0,则称该公式是 p 阶收敛的。
~
~
~
例:计算
解:
其中
=
其中
=
运算量基本相同
§ Quadrature
Q: 给定精度,如何取 n ?
例如:要求,如何判断 n = ?
?
上例中若要求,则
即:取 n = 409
通常采取将区间不断对分的方法,即取 n = 2k
上例中2k  409  k = 9 时,T512 =
S4 =
注意到区间再次对分时
可用来判断迭代
是否停止。
§4 龙贝格积分/* Romberg Integration */
例:计算
已知对于= 106 须将区间对分 9 次,得到 T512 =
由来计算 I 效果是否好些?
考察
=
= S4
一般有:
Romberg 序列
 Romberg
算法:
< ?
< ?
< ?
………………
 T1 =
)
0
(
0
T
 T8 =
)
3
(
0
T
 T4 =
)
2
(
0
T
 T2 =
)
1
(
0
T
 S1 =
)
0
(
1
T
 R1