文档介绍：Numerical eigenvalue of matrix
矩阵特征值问题的解法
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:
则称为矩阵的特征值, 为相应的特征向量。
特征值为特征方程的根。
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与矩阵想干的一些重要结果:

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特征值的估计与扰动问题
特征值的估计
称之为Gerschgorin圆盘(盖尔圆).
Gerschgorin 圆盘定理
为n阶实方阵,则
在的某个Gerschgorin圆盘之中.
的任一特征值必落
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第二圆盘定理
设为阶实方阵,如果的个Gerschgorin圆盘与其他圆盘不相连,则恰好有的个特征值落在该个圆盘的并集之中,即:
特别地:孤立圆盘仅含有一个特征值.
为的一个重新排列, , 则中含有的个特征值.
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试讨论A的特征值的分布.
解由A确定的3个圆盘分别为
所以
315
-2<22
-63<-2
例 1 设矩阵
R1=-41, R2=2, R3=+42
x
y
0
-2
-4
-6
2
3
4
5
实际上, 1= , 2=- , 3=-
6
关于实对称矩阵的极大—极小定理
为矩阵关于向量的Rayleigh(雷利)商.
为阶实对称矩阵,则其特征值皆为实数,
记做:
并且存在规范正交特征向量系,满足:
设为阶实矩阵, .
我们称
定义
7
由于,对于任意,可以取,使
得: .
证明: 假设为的规范正交特征向量组,则对任何向量,有
设为阶实对称矩阵,其特征值
为,则
定理
8
于是
因而,特别地,若取,这时

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按模最大特征值和特征向量的乘幂法
设A是n阶矩阵,其n个特征值按模从大到小排序为
又假设关于λ1,λ2,…,λn的特征向量
v1,v2,…,vn线性无关.
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