文档介绍：绝对值不等式
绝对值不等式,
基本的绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
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y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
所以函数的最小值是5,没有最大值
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|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
由|y|≤5得-5≤y≤5
即函数的最小值是-5,最大值是5
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也可以从几何意义上理解,|x-3|+|x+2|表示x到3,-2这两点的距离之和,显然当-2≤x≤3时,距离之和最小,最小值是5;而|x-3|-|x+2|表示x到3,-2这两点的距离之差,当x≤-2时,取最小值-5,当x≥3时,取最大值5
[变题1]解下列不等式:(1)|+1|>2-;(2)|-2-6|<3
[思路]利用|f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)和|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解:(1)原不等式等价于+1>2-或+1<-(2-)
解得>或无解,所以原不等式的解集是{|>}
(2)原不等式等价于-3<-2-6<3
即
2<<6
所以原不等式的解集是{|2<<6}
(1)|x-x2-2|>x2-3x-4;(2)≤1
解:(1)分析一可按解不等式的方法来解.
原不等式等价于:
x-x2-2>x2-3x-4 ①
或x-x2-2<-(x2-3x-4) ②
解①得:1-<x<1+
解②得:x>-3
故原不等式解集为{x|x>-3}
分析二∵|x-x2-2|=|x2-x+2|
而x2-x+2=(x-)2+>0
所以|x-x2-2|中的绝对值符号可直接去掉.
故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4
解得:x>-3
∴原不等式解集为{x>-3}
(2)分析不等式可转化为-1≤≤1求解,但过程较繁,由于不等式≤1两边均为正,所以可平方后求解.
原不等式等价于≤1
9x2≤(x2-4)2 (x≠±2)
x4-17x2+16≥0
x2≤1或x2≥16
-1≤x≤1或x≥4或x≤-4
注意:在解绝对值不等式时,若|f(x)|中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负,恒负或恒非正),就可直接去掉绝对值符号,从而简化解题过程.
第2变含两个绝对值的不等式
[变题2]解不等式(1)|-1|<|+|;(2)|x-2|+|x+3|>5.
[思路](1)题由于两边均为非负数,因此可以利用|f(x)|〈|g(x)|f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。
(2)题可采用零点分段法去绝对值求解。
[解题](1)由于|-1|≥0,|+|≥0,所以两边平方后有:
|-1|<|+|
即有-2+1<+2+,整理得(2+2)>1-
当2+2>0即>-1时,不等式的解为>(1-);
当2+2=0即=-1时,不等式无解;
当2+2<0即<-1时,不等式的解为<
(2)解不等式|x-2|+|x+3|>5.
解:当x≤-3时,原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3.
当-3<x<2时,原不等式为(2-x)+(x+3)>55>5无解.
当x≥2时,原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.
综合得:原不等式解集为{x|x>2或x<-3}.
[请你试试4—2]
1 解关于的不等式(>0且≠1)
解析:易知-1<<1,换成常用对数得:
∴
于是
∴
∴
∵-1<<1
∴0<1-<1
∴(1-)<0
∴<0
∴
解得0<<1
|x+3|-|2x-1|<+1的解集为。
解:
|x+3|-|2x-1|=
∴当时∴x>2
当-3<x<时4x+2<+1 ∴
当时∴
综上或x>2
故填。
.
解:因为对数必须有意义,即解不等式组
,解得
又原不等式可化为
(1)当时,不等式化为即
∴∴综合前提得:。
(2)当1<x≤2时,即.
∴。
当时,
∴∴,结合前提得:。
综合得原不等式的解集为
第3变解含参绝对值不等式
[变题3]解关于x的不等式
[思路]本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解,运算理较大。若化简成
,则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进行讨论。
[解题]原不等式等价于
当即时,
∴
当即时, ∴x¹-6
当即时, xÎR