文档介绍：《凝聚态物理学进展》题库
§第一章晶体结构
一、简答题
。
[解答]
证明:设A、B是晶体中任一晶列上的两个相邻的格点,如图所示,格点间距为a,如果该晶格具有在纸面上旋转θ角的对称操作,即绕A旋转θ角后,晶格自身重合。这时格点B转到了格点B`。显然,旋转-θ角也是该晶体的一个对称操作,则绕B旋转-θ角后,晶格自身重合,这时格点A到了格点A`处。

B` A`

θ-θ
A B
显然B`A`//AB,即B`A`平行于一个晶列,同属于一个晶列簇。由晶体的平移对称性可知,B`与A`的间距应是格点间距a即AB的整数倍,即:

注意到=a,即:

化简得到转角θ满足关系式:

由于,上式能够成立的整数m只有5个
m=3,2,1,0,-1
对应于

对应转角θ为

这说明晶体中纯旋转对称轴只可能是1,2,3,4,6次对称轴,不可能有5次轴,也不可能有7次轴和7次以上的对称轴。
★。
a
b
c
a3
a2
a1
0
[解答]
证:
a
b
c
a1
a2
a3
0
面心立方
由倒格子公式转换得:
同理得: 体心立方

面心立方的基矢为:
可见当上式中的时与面心立方的基矢形式完全吻合,所以两者互为倒格子,得证。
★?具体分析其纯旋转操作。
[解答]
立方体具有较高的对称性,它有48个对称操作:绕4条体对角线可以旋转共8个对称操作;
绕3个立方边可以旋转共9个对称操作;
绕6条棱对角线可以转动π,共6个对称操作;
加上恒等操作共24个,以上24个为纯旋转操作。
立方体体心为中心反演,所以以上每一个操作加上中心反演后,仍为对称操作,因此立方体共有48个对称操作。
三个立方边六条棱对角线四条体对角线
。
[解答]
对于点群对称性,宏观晶体的32种点群与微观的点群是一样的,宏观的点群对称性是微观原子周期性排列所具有的对称性的宏观表现,微观原子周期性排列,决定了其旋转对称轴只能是1、2、3、4、6次轴,决定了微观的点群对称性。同时决定了宏观晶体对称性。宏观的点群对称性是微观的点群对称性的反映,这两者是相互依存并且统一的。
:倒格矢的长度与成反比,其中为密勒指数所在面到原点的距离。
[解答]
二、选择填空
(1)晶体是由完全相同的原子,分子或原子团在空间有规则地周期性排列构成的固体材料。
(2)正方形和长方形的对称操作, 正方形的对称性更高。
(3)体心点阵与面心点阵互为倒易点阵。
(4)布里渊区是倒格子空间中以原点为中心的部分区域。
(5)原胞是构成晶体的最小周期性结构单元。
(6)如果一个空间图形经过一空间操作(即线性变换),其性质复原,则称此空间操作为对称操作。
(7)NaCl结构的布拉维格子是面心立方。
§第二章晶格振动与声子
一、简答题
★?在简谐近似和最近邻近似下,写出一维单原子链的运动方程、推导色散关系并讨论波矢的取值。
[解答]
(1)对于微振动,相对位移δ很小,通常可以忽略三次项及其更高次项。在晶体原子相互作用势能的泰勒展开式中。忽略三次方和三次方以上项的近似,称为简谐近似。
(2)一维单原子链的运动方程:
(3)色散关系的推导:
利用玻恩-卡曼边界条件解得行波解:
将行波解代入运动方程得:
解得——色散关系。
(4)波矢取值的讨论:
格波解是波矢q的周期函数
并且色散关系也是波矢q的周期函数
由于周期性,我们可以限制波矢q在一个周期的范围内:
通常选以原点为对称心的一个周期这就是一维单原子链的布里渊区。
由于实际晶体的长度是有限的,记为L=Na,根据波恩-卡曼边界条件,有
,
,并比较其不同之处。设一维单原子链的周期为a,一维双原子链的周期为2a,原子链的长度均为L。
[解答]
一维单原子链的色散关系: 一维双原子连的色散关系:

区别:单原子链只有声学格波,双原子链色散关系有两支格波——声学波和光学波。
?什么是晶格比热容的德拜模型?
[解答]
爱因斯坦模型假设:晶体中各原子的振动相互独立,且所有原子都以同一频率振动。
这样,晶格振动能量和晶格振动比热容分别为:
;
德拜模型假设:晶体是各向同性的连续弹性介质,格波可以看成连续介质的弹性波。对于简单晶体,德拜模型有两点近似:(1)线性色散关系近似(2)球形等平面近似。由于色散关系是准连续的