文档介绍：第一章矩阵
1 矩阵的概念
特殊矩阵:行矩阵、列矩阵、对角矩阵、上三角阵、下三角矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵。
2 矩阵的运算:
(1)矩阵的线性运算及其运算规律-矩阵的加法(减法)和数乘。
(2)矩阵的乘法:能够进行乘法运算必须具备的条件,运算方法,左乘与右乘的区别。乘法的运算规律(应用较为普遍的是矩阵乘法满足结合律)
(3)矩阵的转置:(AB)T=BTAT
(4)矩阵的逆:AB=BA=I→A-1=B
矩阵的逆唯一
运算规律:
(A-1) -1= A;(lA) -1= l-1A -1;(AB) -1=B -1A -1;(AT) -1=(A-1) T
矩阵逆的计算方法:待定系数法、初等变换法、伴随矩阵法。
3 分块矩阵及其运算
第二章线性方程组与矩阵初等变换
1 线性方程组与矩阵的一一对应关系
2 高斯消元法:线性方程组的三种变换→阶梯形方程组。
3 利用矩阵初等变换解线性方程组:三种初等变换→行阶梯形矩阵→行最简形矩阵
4 非齐次线性方程组解的三种情形的讨论
(1)无解(2)唯一解(3)无数解
5矩阵等价的概念
6 初等矩阵的概念
7 初等矩阵与矩阵初等变换的关系
8 逆矩阵定理:设A是n阶矩阵,那么下列各命题等价:
(1)A是可逆矩阵;
(2)齐次线性方程组Ax=0只有零解;
(3)A可以经过有限次初等行变换化为In;
(4)A可表示为有限个初等矩阵的乘积。
9 利用矩阵初等变换求矩阵的逆
A可以经过一系列初等行变换化为I;
I经过这同一系列初等行变换化为A-1
Ps … P2 P1 (A | In)=(In | A -1)
第三章行列式
1 n阶行列式的定义
(1)全排列及其奇偶性:逆序数的概念,对换,相邻对换。
(2)n阶行列式的定义
2 行列式按行(或列)展开
(1)行列式的余子式及代数余子式
(2)设A = (aij)是n阶矩阵,D=detA ,那么
(1) D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin (i=1,2,…,n)
(2) D=a1j A1j+a2j A2j+…+anj Anj (j=1,2,…,n)
行列式等于它们的任一行(或列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
交换行列式的两行(列)的位置,行列式变号。
如果n阶矩阵A = (aij) 中有两行(或列)相同,那么行列式D=detA=0。
设A = (aij) 是n阶矩阵,D=detA ,i≠j ,那么
(1) D1=ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0
(2) D2=a1i A1j+a2i A2j+…+ani Anj =0
3 行列式的性质
(1)行列式经过转置后其值不变。
(2)如果行列式的某一行(或列)的元素都是两元素之和,那么行列式可分解成两个行列式的和
(3)行列式的初等变换:设A = (aij) 为n阶矩阵,
①交换A的第i、j行(或列)的位置得到A1,则
det A1 = - det A;
②把A的第i行(或列)乘以数k(k≠0)得到A2,则
det A2 = k det A;
③把A的第i行(或列)的k倍加到第j行(或列)上,得到A3,则
det A3 = det A;
(4) 设A 为任意n阶矩阵,则对n阶初等矩阵都有
det( E A )=(det E )( det A )
det( A E )=(det A )( det E )
(5) 如果行列式有两行(或列)的对应元素成比例,那么这个行列式为零。
4 行列式的计算
法一:通过适当的初等变换把行列式化为上三角行列式,然后利用上三角行列式的计算公式得到行列式的值。
法二; 通过适当的初等变换把某一行(或列)尽可能化为0,然后按该行(或列)展开,实现降阶。
范德蒙德行列式
5 行列式与矩阵的逆
伴随矩阵
矩阵、伴随矩阵、矩阵逆的关系
设A和B是两个n阶矩阵,如果A是不可逆矩阵,则AB和BA都是不可逆矩阵。
如果AB=I(或BA=I),那么A可逆,且A-1=B。
6 矩阵的乘法定理
设矩阵A1、 A2 、…、Ar都是n阶矩阵,那么
det(A1 A2…Ar)= (detA1) (detA2) …(detAr)
7 克拉默法则
如果线性方程组的系数行列式D=detA≠0,那么线性方程组有唯一解:
x=(x1,x2,…,xn)T
其中
Dj是用方程组的常数列b代替D的第j列得到的行列式。
齐次线性方程组Ax=0:
没有非零解的充分必要条件是其系数矩阵A的行列式D≠0;等价地,该方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式D=0。
8 矩阵的秩
(1)