文档介绍：向量空间的定义 向量空间的性质 向量空间的子空间 小结、思考题
向量空间
向量空间是线性代数最基本的概念之一,也是一个抽象的概念,也叫线性空间。
线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是
某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题
看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际
问题.
一、向量空间的定义
若对于任一数与任一元素,总有唯
一的一个元素与之对应,称为与的积,
记作
定义1 设是一个非空集合,
对于任意两个元素,总有唯一的一个元
素与之对应,称为与的和,记作
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那
么就称为数域上的向量空间(或线性空间).
2 .向量空间中的向量不一定是有序数组.
3 .判别线性空间的方法:一个集合,对于定
义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条
性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间.
说明
1. 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算,称为线性运算.
(1)一个集合,如果定义的加法和数乘运
算是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对运
算的封闭性.
例1 实数域上的全体矩阵,对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间,记作.
线性空间的判定方法
通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运
算满足线性运算规律.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ