文档介绍：第一讲注意添加平行线证
在同一平面内,,,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况.
1 为了改变角的位置
大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.
例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP=CQ,
A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使
∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?试
证明你的结论.
答: 当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC为等腰三角形.
证明:如图1,分别过点P、B作AC、.
在△DBP=∠AQC中,显然∠DBP=∠AQC,∠DPB=∠C.
由BP=CQ,可知△DBP≌△AQC.
有DP=AC,∠BDP=∠QAC.
于是,DA∥BP,∠BAP=∠BDP.
则A、D、B、P四点共圆,=DP.
所以AB=AC.
这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.
例2 如图2,四边形ABCD为平行四边形,
∠BAF=∠:∠EBA=∠ADE.
证明:如图2,分别过点A、B作ED、EC
的平行线,得交点P,连PE.
由AB CD,易知△PBA≌△
PA=ED,PB=EC.
显然,四边形PBCE、
∠BCE=∠BPE,∠APE=∠ADE.
由∠BAF=∠BCE,可知∠BAF=∠BPE.
有P、B、A、E四点共圆.
于是,∠EBA=∠APE. 所以,∠EBA=∠ADE.
这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.
2 为了改变线段的位置
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.
例3 在△ABC中,BD、CE为角平分线,、AB、BC的垂线,M、N、:
PM+PN=PQ.
证明:如图3,过点P作AB的平行线交BD
于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC
于K、G,连PG.
由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC
=PN.
显然,==,可知PG∥EC.
由CE平分∠BCA,知GP平分∠=,
PM+PN=PK+KQ=PQ.
这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM=PK,就有PM+PN=.
3 为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,.
例4 设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1=、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、:
+=+.
证明:如图4,若PQ∥BC,易证结论成立.
若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC

E.
由BM1=CM2,可知BE+CE=M1E+
M2E,易知
=,=,
=,=.
则+===+.
所以,+=+.
这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.
例5 AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,:∠FDA=∠EDA.
证明:如图5,过点A作BC的平行线,分
别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、
N、M.
显然,==.
有BD·AM=DC·AN. (1)
由==, 有AP=. (2)
由==, 有AQ=. (3)
对比(1)、(2)、(3)有
AP=AQ. 显然AD为PQ的中垂线,故AD平分∠PDQ.
所以,∠FDA=∠EDA.
这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.
4 为了线段相等的传递
当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开
去.
例6 在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且∠MDN=90°.2=DM2+D