借助辅助圆解(证)平面几何题.doc

文档介绍：借助辅助圆解(证)平面几何题
摘要:在某些数学习题中,借助辅助圆解(证)题是比较生疏的一种解题方法。本文拟就自己的体会,对借助辅助圆解(证)题作如下几点归纳:根据圆的定义引圆;求三角形边、角关系时引圆;结论的结构雷同于圆幂定理的模式引圆;挖掘四点共圆的条件,过四点引圆等。
关键词:平面几何圆辅助圆
Through Assisting The Round To Solve(Prove)The Plane Wave Question
Abstract: Among some mathematics exercise, through assist round solve question verdant first solution approach . This text draw up one’s own experience, to through assist round solve a problem and make what time sum up as follows: Quote the round according to the round definition; Side, horn to ask triangle ,on the relation, often through assisting the round; Structure of conclusion duplicate on round power mode of theorem guiding the round; Excavate four round condition altogether ,pass four point and guide round, etc.
Key words: Plane wave Round Assist by round
学面几何离不开解(证)题,面对浩如大海,千变万化的平面几何题。虽然我们不可能找到一种“以不变应万变”的解题“通法”,但我们可以总结出一些规律性的解题方法。解(证)平面几何题,最棘手的莫过于添加辅助线。常用添辅助线的方法,有连结、延长、平移或旋转,这些都是对直线而言的。至于利用辅助圆解(证)平面几何题,虽远不如直线那么为人所熟知,但如果辅助圆添加合理,同样可以使分散的条件集中,隐蔽的条件明显;同样为沟通条件与结论之间的内在联系而起到事半功倍的作用;同样可以沟通数学知识之间的
联系,激发学生的学时的学习中,将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面去认真分析、思考,即可发现,适当添加辅助圆,并利用圆的有关性质以及定理,就能巧妙地找到解题问题的途径。也就是说,辅助圆有时在解(证)题中起着“搭桥铺路”的作用。
一、根据圆的定义引圆。
圆就是到定点的距离等于定长的点的集合。已知条件给出共同端点的几条线段相等,由圆的定义,便可以以共同的端点为圆心,以等线段的长为半径,引出辅助圆,而后利用圆的有关性质解决问题。
例1:如图1,AB=AC=AD,如果∠DAC 是∠CAB的K倍(K为实数)。
求:∠DBC是∠BDC的多少倍?

图1
分析:注意到本题有共同端点的几条线段相等,故考虑以共同的端点为圆心,以等线段的长为半径,借助辅助圆求解。
解:以点A为圆心,AB长为半径作圆。显然B、C、D在⊙A上,设∠DBC是∠BDC的m倍,有:
K=∠DAC∕∠CAB=∠DAC∕∠CAB=∠DBC∕∠BDC=m
∴∠DBC是∠BDC的K倍.
评注:此题采用三角形内角和定理求解,运算量较大,容易出现计算的差错。这样添加辅助圆沟通了条件与结论之间的相依关系,从而使问题得到解决。
例2:如图2,AB=BC=CA=AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC交AH于P.
求证:S△ABC=
图2
分析:由本结论可以联想到:SABC==
△ACP∽△BDC。但题中没有角相等的条件,但注意到有共同端点的几条线段相等,故考虑借助辅助圆求解。
证明:以点A为圆心,AB长为半径作圆,则有点C、D都在⊙上.
∵ AHCD
∴∠1=∠CAD=∠2
∵ PC⊥BC ∴
故∆△APC∽△BCD ∴
于是 AP
∴ S∆ABC=
评注:此题条件和结论相差很远,无法下手。添加辅助圆后凭藉
圆心角与圆周角的关系,为证明三角形的相似提供了充分条件。
三角形边、角关系时,引辅助圆(通常作三角的外接圆, 内
切圆)利用圆来讨论其边、角关系.
“在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所有对应的其余各量都相等.”此定理将三角形边、角关系联系在一起。这时我们就可以作辅助圆,将三角形问题