文档介绍：函数值域求法
复合函数的值域
对于复合函数y=f(g(x)),在定义域的范围内;若外函数f(x)是增函数,且内函数
g(x)的值域是[m,n],则函数f(g(x))的值域是[f(m),f(n)];
若外函数f(x)是减函数,且内函数g(x)的值域是[m,n],则f(g(x))的值域是[f(n),f(m)]。

1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例1. 求函数的值域。
解:∵
∴
显然函数的值域是:
例2. 求函数的值域。
解:∵
故函数的值域是:
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数的值域。
解:将函数配方得:
∵
由二次函数的性质可知:当x=1时,,当时,
故函数的值域是:[4,8]
.换元法求函数值域
例:求函数的值域。
3. 判别式法
例4. 求函数的值域。
解:原函数化为关于x的一元二次方程
(1)当时,
解得:
(2)当y=1时,,而
故函数的值域为
例5. 求函数的值域。
解:两边平方整理得:(1)
∵
∴
解得:
但此时的函数的定义域由,得
由,仅保证关于x的方程:在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵
代入方程(1)
解得:
即当时,
原函数的值域为:
注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数值域。
解:由原函数式可得:
则其反函数为:,其定义域为:
故所求函数的值域为:
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数的值域。
解:由原函数式可得:
∵
∴
解得:
故所求函数的值域为
例8. 求函数的值域。
解:由原函数式可得:,可化为:
即
∵
∴
即
解得:
故函数的值域为
6. 函数单调性法
例9. 求函数的值域。
解:令
则在[2,10]上都是增函数
所以在[2,10]上是增函数
当x=2时,
当x=10时,
故所求函数的值域为:
例10. 求函数的值域。
解:原函数可化为:
令,显然在上为无上界的增函数
所以,在上也为无上界的增函数
所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值
显然,故原函数的值域为
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数的值域。
解:令,
则
∵
又,由二次函数的性质可知
当时,
当时,
故函数的值域为
例12. 求函数的值域。
解:因
即
故可令
∴
∵
故所求函数的值域为
例13. 求函数的值域。
解:原函数可变形为:
可令,则有
当时,
当时,
而此时有意义。
故所求函