文档介绍：数列知识点总结
对于数列,总体的通项公式 an=f(n), Sn=i=0nai
等差数列
an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d
sn=a1n+n-1n2=an+a1n2 (m、nϵN*)
A=(a+b)/2,A称为a和b的等差中项
等差数列的性质
若m+n=p+q (m、n、p、q ϵ N*),则有
am+an=ap+aq
下标成等差数列的等差数列中的项也是等差数列,如
ak, ak+m, ak+2m, ……也是等差数列,公差为md
{ an}为等差数列且公差为d,则有以下结论:若d>0,那么数列为递增数列;若d<0,那么数列为递减数列;若d=0,那么数列为常数数列
关于数列有2an+1=an+an+2
sn =a1n+n-1n2d=(a1-d/2)n+d22n=An+Bn2
1、若{ an}为等差数列,求解下列各题目
(1)a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8;
(2)a5=11,a8=5,求an;
( 3 ) a2+a5+a8=9, a3a5a7=-21,求an.
解:
(1)a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,a5=90
∴ a2+a8=2a5=180
(2)a8-a5=3d=5-11=-6,∴d=-2
an=a8+(n-8)d=5+(n-8)ⅹ(-2)=21-2n
( 3 ) a2+a5+a8=3a5=9 ∴a5=3
∴a3+a7=6a3a7=-7
则a3=-1,a7=7或者a3=7,a7=-1
根据等差数列的性质可知当a3=-1时,d=2 ;当a3=7时, d=-2
∴an= 2n-7 或-2n+13
{ an}满足:a1=4,an=4-4an-1(n>1),记bn=1an-2
(1)求证:{ bn}为等差数列;
(2)求数列{ an}的通项公式。
解:(1)用定义证明:bn+1-bn=1an+1-2-1an-2=an-22(an-2)=12,且 b1=1a1-2=12
∴数列{ bn}是以12为首项,以12 为公差的等差数列
(2)bn=1an-2=12+n-12=n2 ∴an=2+2n(nϵN*)
{ an}中,a1=25,s17=s9,则该数列前多少项之和最大?最大值为多少?
解:根据等差数列前n项和的性质(一元二次函数),可知最大项是n=17+92 13
s17=17a9=s9=9a5即17(25+8d)=9(25+4d) ∴d=-2
∴a13=25-12x2=1 则s13=(25+1)x13÷2=169即最大项
等比数列
等比数列的通项an=a1qn-1=amqn-m
等比中项c=±ab(此时a、b同号)
前n项和sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq 1-q(q≠1)
等比数列的性质
若m+n=p+q,且m、n、p、q ϵ N*,则amⅹan=apⅹaq;
若{ an}为等比数列且公比为q,则{ 1an }是以1q为公比的等比数列;
在等比数列{ an}中,下标成等差数列的项也可构成等比数列;
对于等比数列{ an}和{ bn},新数列{ bnan}也是等比数列;
等比数列的增减性
若a1>0,q>1,或者a1<0,0<q<1,则数列{ an}为递增数列;
若a1>0,0<q<1,或者a1<0, q>1,则数列{ an}为递减数列;
特别的,当q=1时,数列{ an}为常数数列且sn=na1
等比数列的判断或证明
定义法:即验证an+1an=q;
递推法:即验证an+12=anan+2;
通项法:an=a1qn-1;
前n项和:即证明sn=-Aqn+A,A=a11-q(q≠1)
已知数列{ an}的前n项和sn=2an+1,求证{an}是等比数列,并求出通向.
解: an+1=sn+1-sn=2an+1+1-(2an+1)= 2an+1-2an
∴an+1=2an ∴q=an+1an=2(nϵN*)
sn=a1=2a1+1 ∴a1=-1≠0
∴{an}是以-1为首项,以2为公比的等比数列
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1
证明数列 an+1 等比数列;
求数列 an 的通项公式.
解:(1)an+1+1=2(an+1)∴q=an+1+1an+1=2 (nϵN*)
而a1+1=2≠0
本题目注意一点,an=Aan-1+B,此时 an+C 构成等比数列,公比为A,C=BA-1
∴ an+1 是以2为首项,以2为公比等比数列
(2)由(1)可知
an+1=2·2n-1=2n
∴an=2n-1
当n=1时,a1=21-1=1
∴an=2n-1 (nϵN*)
an 是由