文档介绍：学案3 二项式定理
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(a+b)n= .
右边的多项式叫做(a+b)n的,其中的系数(r=0,1,…,n)叫做展开式的,
式中的第r+1项 an-rbr叫做二项展开式的,记作Tr+1= (其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*).
二项展开式
二项式系数
通项
考点分析
(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即.
(2)增减性与最大值由知,当k<
时,二项式系数是逐渐的,由对称性知它的后半部分是逐渐的,且在中间取最大值.
当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和为2n,即=2n.
(4)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即
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增大
减小
(1) 的展开式中x5的系数为.
(2)若在(1+ax)5的展开式中x3的系数为-80,则a= .
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考点一求二次展开式的特定项
【分析】由通项公式列方程可得.
题型分析
【解析】(1)二项展开式的通项为
令8- =5,则r=2,
∴T3=(-1)2· ·x5=28x5,
∴x5的系数为28.
(2)在二项展开式中通项公式Tr+1= (ax)r
= ·ar·xr,
令r=3,得x3的系数: ·a3=-80,
∴a3=-8,∴a=-2.
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【评析】(1)二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系,因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数.
(2)求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得,考查计算能力.
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若(x+ )n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )
B(由展开式的二项式系数之和为64,得2n=64,得n=6,则展开式中的第r+1项
Tr+1= x6-r(x-1)r= x6-2r,
令6-2r=0,得r=3.
则展开式中的常数项为T4= =20.
故应选B.)
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*对应演练*
B
(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
【分析】根据条件可求出n;再根据n的奇偶性,确定二项式系数最大的项;系数最大的项则由不等式组确定.
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考点二增减性与最值问题
【解析】T6= (2x)5,T7= (2x)6,
依题意有·25= ·26 n=8.
∴(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为
T5= (2x)4=1 120x4,
设第r+1项系数最大,则有
·2r≥·2r-1
·2r≥·2r+1
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2(8-r+1)≥r r≤6
r+1≥2(8-r) r≥5
又∵r∈N,∴r=5或r=6,
∴系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.
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5≤r≤6.