文档介绍：1
无穷小量与无穷大量
左极限和右极限
函数的连续性
极限存在的定理和计算极限的法则
函数极限的思想和描述性定义
第二章极限和连续
数列极限的描述性定义
曲线的渐近线
闭区间连续函数的性质
2
数列极限的描述性定义
极限概念是从常量到变量,
从有限到无限,
即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长.
庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》中
“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.
写道:
即数列
表达物质无限可分,含有极限思想
3
正六边形的面积
正十二边形的面积
正形的面积
刘徽(三世纪)在其《九章算术注》的“割圆术”中说:
“割之弥细,
又割,以至不可割,则与圆周合
体,而无所失矣.”
4
古希腊物理学家、数学家阿基米德(Archimedes,约公元前287~前212年)
在《劈锥曲面与旋转椭圆体》中,他创立了“穷竭法”,即用边数越来越多的正多边形逐步逼近圆的面积的方法,因而被公认为微积分计算的鼻祖.
5
古希腊学者芝诺(约公元前490——前425年)的“飞矢不动”悖论:
箭在弦上要发出去,射中靶子之前,箭要经过中途二分之一这个点,在到达这点之前要经过四分之一这个点,如此下去,永无止境,箭就无法发出去了,因此运动是不存在的。
芝诺的悖论反映了古希腊人对极限、连续、无穷等概念的探索。直到有了极限的理论和方法后,人们才能正确认识这些问题。
6

数列
有极限
记为
与
若不存在这样的数
或没有极限.
,则称此数列的极限不存在,
称存在极限的数列是收敛数列.
数列极限的描述性定义
时,
是指当
无限接近,
不存在极限的数列是发散数列.
7
例1
数列
判断下列数列是否存在极限:
发散
发散
极限为0
极限为1
8
收敛数列的有界性
如,
有界;
无界.

若存在正数M,
数n,恒有
称为无界.
则称数列有界;
否则,
使得一切自然
结论
收敛的数列必定有界.
但反之不成立.
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数列极限存在之单调有界准则
单调增加
单调减少
单调数列
几何解释:
单调有界数列必有极限.
单调有界
有极限
有界
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现证明数列{xn}单调增加
按牛顿二项公式,有
且有界.
例2