文档介绍：§ 电子自旋算符和自旋函数
电子具有自旋角动量这一特性纯粹是量子特性,它不可
能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量,但它和
其他力学量有根本的差别:一般力学量都可表示为坐标和动
量的函数,自旋角动量则与电子的坐标和动量无关,它是电
子内部状态的表征,是描写电子状态的第四个变量。
一、自旋算符
自旋角动量满足的对易关系是:
由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值,
所以和三个算符的本征值都是,它们的平方
就都是:
所以,
令
将上式与轨道角动量平方算符的本征值
比较,可知s与角量子数相当,我们称s为自旋量子数。但
这里s只能取一个数值,即s=1/2.
二、泡利算符
为简便起见,引进一个算符,它和的关系是
将(-6)式代入(-1)式,得到所满足的对易关系:
由的对易关系可得
(-8)
(-9)
的本征值
常数算符及的本征值分别为
算符间还存在反对易关系
(-11)
(-10)
(-12)
(-13)
因为自旋是电子内部运动自由度,所以描写电子运动除了用(x, y, z) 三个坐标变量外,还需要一个自旋变量(SZ),于是电子的含自旋的波函数需写为:
由于 SZ 只取±/2 两个值,
所以上式可写为两个分量:
含自旋的状态波函数
(-14)
写成列矩阵
规定列矩阵
第一行对应于Sz = /2,
第二行对应于Sz = -/2。
若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2的自旋态,则波函数可分别写为:
(-15)
(-16)
(-17)
(1) SZ的矩阵形式
电子自旋算符(如SZ)是作用与电子自旋波函数上的,既然电子波函数表示成了2×1 的列矩阵,那末,电子自旋算符的矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ1/2 描写的态,SZ有确定值/2,所以Φ1/2 是 SZ 的本征态,本征值为/2,即有:
矩阵形式
自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
(-18)
(-19)
同理对Φ–1/2 处理,有
最后得 SZ 的矩阵形式
(-20)
(-21)
(-22)
Pauli算符的矩阵形式
根据定义
求 Pauli 算符的其他两个分量
令
利用反对易关系