文档介绍：
由于自旋在空间中任意方向的投影只能取两个值。因此，任意选定坐标系后，三个算符的本征值都是，
由于自旋在空间中任意方向的投影只能取两个值。因此，任意选定坐标系后，三个算符的本征值都是，的值都是即
（）
电子自旋算符和自旋函数
写成分量形式：
（）
（）
则的本征值为：
电子自旋算符和自旋函数
若将任何角动量平方算符的本征值记为，称为角动量量子数，则自旋角动量量子数满足：
（）
所以
（）
为方便起见，引入算符，令
（）
即
（）
则由（）及（）式得
电子自旋算符和自旋函数
（）
写成分量形式
（）
而的本征值为，而且
（）
定义：任意算符和的反对易关系为
（）
则
电子自旋算符和自旋函数
同理
（）
（）
现在来找特定表象下，算符的矩阵形式。由于与对易，则在它们的共同表象中，的矩阵必然为
（）
这是因为只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是的矩阵，而且在自身表象中，矩阵对角线上的元素就是它的本征值。
电子自旋算符和自旋函数
为求出，在表象中的矩阵形式，注意到与反对易，则与也只能是矩阵。
令
（）
由于是厄米矩阵，也是厄米矩阵，则
（）
则
（）
电子自旋算符和自旋函数
又由于
则
即
则
若取，则
（）
（）
由对易关系得
（）
综上所述
（）
电子自旋算符和自旋函数
称为泡利矩阵。因为任何的厄米矩阵都可表示为单位矩阵和三个矩阵的线性组合，所以泡利矩阵非常有用。
现在求电子自旋算符对应的波函数。在表象中，由本征函数
（）
即
（）
（）
电子自旋算符和自旋函数
所以，的本征函数为
（）
自旋算符用矩阵表示后，自旋算符的任一波函数也可表示为的矩阵
（）
（）
包含自旋在内的电子波函数可表示为