文档介绍：函数的极值与导数
预****课本P26~29,思考并完成下列问题
(1)函数极值点、极值的定义是什么?
(2)函数取得极值的必要条件是什么?
(3)求可导函数极值的步骤有哪些?
(1)函数的极大值
一般地,设函数y=f(x)在点x0及附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点.
(2)函数的极小值
一般地,设函数y=f(x)在点x0及附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),.
[点睛] 如何理解函数极值的概念
(1)极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值,与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值,但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值.
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
(5)单调函数一定没有极值.
=f(x)极值的方法
一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:
解方程f′(x)=0. 当f′(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.
[点睛] 一般来说,“f′(x0)=0”是“函数y=f(x)在点x0处取得极值”=f(x)在点x0处可导,且在点x0处取得极值,那么f′(x0)=0;反之,若f′(x0)=0,则点x0不一定是函数y=f(x)的极值点.
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)=x3+ax2-x+1必有2个极值.( )
(2)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合.( )
(3)函数f(x)=有极值.( )
答案:(1)√(2)√(3)×
:①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|;④y=2x,其中在x=0处取得极小值的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①③
答案:B
=|x2-1|,则( )
,且无极大值
-1,但无极大值
,极大值1
,极大值-1
答案:C
4. 函数f(x)=x+2cos x在上的极大值点为( )
B.
C. D.
答案:B
运用导数解决函数的极值问题
题点一:知图判断函数的极值
=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)( )
(-∞,0)上为减函数 =0处取极小值
(4,+∞)上为减函数 =2处取极大值
解析:选C 由导函数的图象可知:x∈(-∞,0)∪(2,4)时,f′(x)>0,x∈(0,2)∪(4,+∞)时,f′(x)<0,因此f(x)在(-∞,0),(2,4)上为增函数,在(0,2),(4,+∞)上为减函数,所以x=0取得极大值,x=2取得极小值,x=4取得极大值,因此选C.
题点二:已知函数求极值
(x)=x2e-x的极值.
解:函数的定义域为R,
f′(x)=2xe-x+x2·e-x·(-x)′
=2xe-x-x2·e-x
=x(2-x)e-x.
令f′(x)=0,得x(2-x)·e-x=0,
解得x=0或x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
极小值0
极大值4e-2
因此当x=0时,f(x)有极小值,
并且极小值为f(0)=0;
当x=2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(2)=4e-2=.
题点三已知函数的极值求参数
(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(0,1) D.(-1,0)
解析:选D 若a<-1,∵f′(x)=a(x+1)(x-a),
∴f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增,∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符;
若-1<a<0,则f(x)在(-1,a)上