文档介绍：复数
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(1)虚数单位i;
(2)复数的代数形式z=a+bi,(a, b∈R);
(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。
若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,
(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;
(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;
(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;
(4)除法:;
(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。
(6)特殊复数的运算:
①(n为整数)的周期性运算; ②(1±i)2 =±2i;
③若ω=-+i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.
(1)若z=a+bi,则,为实数,为纯虚数(b≠0).
(2)复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.
,设a, b, c, d∈R,两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di
. 由这个定义得到a+bi=0.
两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。
+bi的共轭复数是a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a与实数a共轭,表示点落在实轴上。
、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去。
如(a+bi)(a-bi)= a2+b2
(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。
由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即.
+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。
(二)典型例题讲解
(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x, y∈R,求x, y.
解:根据复数相等的意义,得方程组,得x=, y=4.
,复数z=+(m2+3m-10)i;(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.
解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.
(1)z为实数,则虚部m2+3m-10=0,即,
解得m=2,∴ m=2时,z为实数。
(2)z为虚数,则虚部m2+3m-10≠0,即,
解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时,z为虚数.,
解得m=-, ∴当m=-时,z为纯虚数.
诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件,还应特别注意分母不为零这一要求.
:i+i2+i3+……+i2005.
解:此题主要考查in的周期性.
i+i2+i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003+i2