文档介绍：总****题一
1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:
(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件. 数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件.
(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是存在的________条件. 存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件.
(3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是的________条件. 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件.
(4)f(x)当x®x0时的右极限f(x0+)及左极限f(x0-)都存在且相等是存在的________条件.
解(1) 必要, 充分.
(2) 必要, 充分.
(3) 必要, 充分.
(4) 充分必要.
2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:
设f(x)=2x+3x-2, 则当x®0时, 有( ).
(A)f(x)与x是等价无穷小; (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小;
(C)f(x)是比x高阶的无穷小; (D)f(x)是比x低阶的无穷小.
解因为
(令2x-1=t, 3x-1=u) .
所以f(x)与x同阶但非等价无穷小, 故应选B.
3. 设f(x)的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域:
(1) f(ex);
(2) f(ln x);
(3) f(arctan x);
(4) f(cos x).
解(1)由0£ex£1得x£0, 即函数f(ex)的定义域为(-¥, 0].
(2) 由0£ ln x£1得1£x£e , 即函数f(ln x)的定义域为[1, e].
(3) 由0£ arctan x £1得0£x£tan 1, 即函数f(arctan x)的定义域为[0, tan 1].
(4) 由0£ cos x£1得(n=0, ±1, ±2, × × ×),
即函数f(cos x)的定义域为[], (n=0, ±1, ±2, × × ×).
4. 设
, ,
求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)].
解因为f(x)³0, 所以f[f(x)]=f(x);
因为g(x)£0, 所以g[g(x)]=0;
因为g(x)£0, 所以f[g(x)]=0;
因为f(x)³0, 所以g[f(x)]=-f 2(x).
5. 利用y=sin x的图形作出下列函数的图形:
(1)y=|sin x|;
(2)y=sin|x|;
(3).
6. 把半径为R的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为a的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为a的函数.
解设围成的圆锥的底半径为r, 高为h, 依题意有
R(2p-a)=2pr , ,
.
圆锥的体积为
(0<a<2p).
7. 根据函数极限的定义证明.
证明对于任意给定的e>0, 要使, 只需|x-3|<e, 取d=e, 当
0<|x-3|<d时, 就有|x-3|<e, 即, 所以.
8. 求下列极限:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)(a>0, b>0, c>0);
(6).
解(1)因为, 所以.
(2)
.
(3)
.
(4)
(提示: 用等价无穷小换).
(5), 因为
,
,
所以.
提示: 求极限过程中作了变换ax-1=t, bx-1=u, cx-1=v.
(6), 因为
,
,
所以.
9. 设, 要使f(x)在(-¥, +¥)内连续, 应怎样选择数a?
解要使函数连续, 必须使函数在x=0处连续.
因为
f(0)=a, , ,
所以当a=0时, f(x)在x=0处连续. 因此选取a=0时, f(x)在(-¥, +¥)内连续.
10. 设, 求f(x)的间断点, 并说明间断点所属类形.
解因为函数f(x)在x=1处无定义, 所以x=1是函数的一个间断点.
因为(提示),
(提示),
所以x=1是函数的第二类间断点.
又因为, ,
所以x=0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.
11. 证明.
证明因为, 且
, ,
所以.
12. 证明方程sin x+x+1=0在开区间内至少有一个根.
证明设f(x)=sin x+x+1, 则函数f(x)在上连续.
因为, , ,