文档介绍：.页眉. 页脚. 高等数学课后****题答案, 同济版高等数学课后****题答案****题 8-1 1. 设有 1 个面薄板( 不计其厚度) ,占有 xOy 面上的闭区域 D ,薄板上分布有面密度为μ=μ(x,y) 的电荷,且μ(x,y) 在D 上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷 Q. 解用一组曲线将 D 分成 n 个小闭区域Δσ i ,其面积也记为Δσ i(i=1,2,??,n). 任取一点(ξ i,η i)∈Δσ i,则Δσ i 上分布的电量ΔQ ≈μ(ξ i,η i) Δσ i. 通过求和、取极限, 便得到该板上的全部电荷为 Q=lim ∑μ(ξ i,η i) Δσ i= ∫∫μ(x,y)d σ, λ→ 0 i=1 Dn 其中λ=max{ Δσ i 的直径}. 1≤i≤n I1= ∫∫(x2+y2)3d σ其中 D1={(x,y)?1 ≤x≤ 1,?2 ≤y≤ 2}; 又 I2= ∫∫(x2+y2)3d σ D1 D2 其中 D2={(x,y)0 ≤x≤ 1,0 ≤y≤ 2}. 试利用二重积分的几何意义说明I1与I2 之间的关系. 顶为曲面 z=(x2+y2)3 的曲顶柱体Ω1 的解由二重积分的几何意义知, I1 表示底为 D1 、体积;I2 表示底为 D2 、顶为曲面 z=(x2+y2)3 的曲顶柱体Ω2 的体积. 由于位于 D1 .页眉. 页脚. 上方的曲面 z=(x2+y2)3 关于 yOz 面和 zOx 面均对称,故 yOz 面和 zOx 面将Ω1 分成 4 个等积的部分,其中位于第一卦限的部分即为Ω 2. 由此可知 I1=4I2. 3. 利用二重积分定义证明: (1) ∫∫dσ=σ D( 其中σ为D 的面积); ( 其中 k 为常数);12 (2)( ∫∫ kfx,y)d σ=k ∫∫ f(x,y)d σ DD (3) ∫∫ f(x,y)d σ= ∫∫ f(x,y)d σ+ ∫∫ f(x,y)d σ, 其中 D=D ∪D D D1 D2 , D1 、 D2 为2 (1) 由于被积函数 f(x,y) ≡1 ,故由二重积分定义得∑ f(ξ,η) Δσ∫∫ dσ=lim λD→0 .页眉. 页脚. ii i=1 nni =lim ∑Δσ i=lim σ=σ. λ→ 0 i=1 n λ→ 0 (2) ∫∫ kf(x,y)d σ=lim ∑ kf( ξ i,η i) Δσ i=klim ∑ f(ξ i,η i) Δσ i=k ∫∫ f(x,y)d σ. Dn λ→ 0 i=1 λ→ 0 i=1 D (3) 因为函数 f(x,y) 在闭区域 D 上可积, 故不论把 D 怎样分割, 积分和的极限总是不变的,因此在分割 D 时,可以使 D1 和 D2 的公共边界永远是一条分割线。这样 f(x,y) 在 D1 ∪ D2 上的积分和就等于 D1 上的积分和加 D2 上的积分和,. 页脚. D1 ∪ D2 ∑ f(ξ i,η i) Δσ i=∑ f(ξ i,η i) Δσ i+∑ f(ξ i,η i) Δσ i. D1 D2 令所有Δσ i 的直径的最大值λ→ 0 ,上式两端同时取极限,即得 D1 ∪ D2 ∫∫ f(x,y)d σ= ∫∫ f(x,y)d σ+ ∫∫ f(x,y)d σ. D1 D2 4. 根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1) ∫∫(x+y)2d σ与∫∫(x+y)3d σ,其中积分区域 D 是由 x 轴、 y 轴与直线 x+y=1 所 DD 围成; (2) 成; ∫∫(x+y)d σ与∫∫(x+y)d σ,其中积分区域 D 是由圆周(x?2) DD 232 +(y?1)2=2 所围(3) ∫∫ ln(x+y)d . 页脚. D与∫∫[ln(x+y)]d σD2 ,其中 D 是三角形闭区域,三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0); (4) ∫∫ ln(x+y)d σ与∫∫[ln(x+y)]2d σ,其中 D={(x,y)3 ≤x≤ 5,0 ≤y≤ 1}. DD解(1) 在积分区域 D 上, 0≤ x+y ≤1 ,故有(x+y)3 ≤(x+y)2 ,根据二重积分的性质 4, 可得∫∫(x+y)3d σ≤∫∫(x+y)2d 故在 D 上有(x+y)2 ≤(x+y)3. 从(2) 由于积分区域 D 位于半平面{(x,y)|x+y ≥ 1} 内,而∫∫(x+y)2d σ≤∫∫(x+y)3d (3) 由于积分区域 D 位于条形区域{(x,y)|1 ≤ x+y ≤ 2} 内,故知 D 上的点满足 0≤ ln(x+y) ≤1 ,从而有[ln(x+y)]2 ≤ ln(x+y). 因此∫∫[ln(x+y)]2d σ≤∫∫ ln(x+y)d σ. D .页眉