文档介绍：第2章平稳时间序列模型
第二章
平稳时间序列模型
本章将介绍 Box-Jenkins 方法, 主要包括一元平稳时间序列的识别、估计、诊断和预测方法。平稳性
t
考虑时间序列 y ,对任何整数 N ,可得到一个随机向量
(y
t1
, yt ,L , yt
2
N
)¢ 。要想确定所有随机向量的分布是不可能的(虽然
理论上存在) ,但可以确定
E ( yt ) = m t
和协方差
co v( y t , y s ) = E [( y t - m t )( y s - m s )] = g t , s
一个随机过程的线性性质可由均值和协方差来描述。如果这个过程是正态过程,则( y
t1
, yt ,L , yt
2
N
)¢ 是 N 维正态分布, m
t
, g t ,s
可以
完全刻画这个随机过程的分布性质。如果没有正态性质,但生成过程是线性的, 则在它的均值和方差中可获得关于这个过程的更多的重要特征。下面的问题是如何来估计 m , 对于一些过程我们可以得到大
t
量的实现(反复做观测) y 是
ˆ mt = 1 k
jt ,
t = 1, 2, L , n . j = 1, 2, L , k . 那么, m t
的估计
å
k
y jt
j =1
但对大多数过程来说,得不到更多的实现。如,不可能把经济停下来,然后重新开始观测。对一个实现,不可能估计出 m 。为
t
了克服这个困难,时间序列分析要做如下的假设:均值和方差不随时间而改变。如果对任何 t, t-s, 都有
E ( yt ) = E ( yt-s ) = m
E ( yt - m )
2
= E ( yt-s - m )
2
=s
2 y
cov( y t , y t - s ) = cov( y t - j , y t - j - s ) = g
s
这里
m ,s
2 y
都是常量,与时间无关, g 是依赖于 s 的常量。这样
s
的随机过程称为协方差平稳。可以简单地说,如果一个时间序列的均值和协方差不受时间变化影响, 则称这个时间序列是协方差平稳。在一些文献中,协方差平稳的过程也称为弱平稳,二阶矩平稳或宽平稳过程。(注意一个强平稳过程不一定有有限的均值和方差) 。一个更进一步的假设是这个随机过程是遍历的(ergodic) 。这是一个较难理解的一个概念。遍历性是指:如果一个过程对于时间间隔充分远的值之间几乎是无关的, 使得这个序列通过时间来平均,总有新的有用的信息增加到平均值中。因此,按时间平均
yn = 1
å n
n
yt
t =1
是总体均值 m 的无偏、一致估计。即 E ( y 同理, g 的估计也是一致的。
s
n
) = m,
Var ( yn ) ¯ 0 , (n ® ¥ )
。
因此, 如果有平稳性和遍历性的假设, 利用关于时间的平均, 就可以得到较好的估计。遍历性的一个必要条件(但不充分)是
g s ® 0 (s ® ¥ ) 。
对于一个协方差平稳的序列, y 和 y 之间的自相关系数可
t t-s
定义为
rs = g s /g 0
因此,
y t 和 y t - 1 之间的自相关系数与 y t - s 和 y t- s - 1 之间的自相关系数相= 1 。序列 r s , s = 0,1, 2,L , 描述了这个过程的一个值与先
同,显然 r
0
前的值的相关程度, 所以自相关系数可用来测量过程本身的记忆性的长度和强度,即在时刻 t 的值与时刻 t-s 的值的相关程度。
r s , s = 0,1, 2, L , 的图形被称为相关图。用来刻画这个过程生成机制
的线性性质。白噪声
t
一个基本的时间序列:白噪声。一个序列{e } 被称为白噪声序列如果序列中每个元素都有零均值,常数方差,序列是不相关的,即
E (e t ) = 0
E (e t ) = s
2 2
对任何 t 对任何 t 对任何 t, s (s ¹ t)
E (e t e t - s ) = 0

自回归模型
t
如果一个时间序列 y 可表示成
y t = a y t -1 + e t ,
e t 是零均值白噪声
则称 y 为一阶自回归过程。记为 y ~ A R (1) 。由 Yule (1927) 引入,
t t
起源于实践。如,每月的失业人数可认为是上月失业人数的一个
固定比例,加上寻求职业的工人数。如果这些人数形成一个白噪声序列,那么,失业序列就是一阶自回归。一些经济时间序列可认为是由下列机制生成:
t
处值= t - 1 处值的期望+误差项
误差项通常取