文档介绍：第一节椭圆
1 椭圆的两种定义:
①平面内与两定点F1,F2的距离的和等于定长的点的轨迹,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(时为线段,无轨迹)。其中两定点F1,F2叫焦点,定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集M={P| ,0<e<1的常数。(为抛物线;为双曲线)
2 标准方程:(1)焦点在x轴上,中心在原点:(a>b>0);
焦点F1(-c,0), F2(c,0)。其中(一个)
(2)焦点在y轴上,中心在原点:(a>b>0);
焦点F1(0,-c),F2(0,c)。其中
注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;
②两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B),当A<B时,椭圆的焦点在x轴上,A>B时焦点在y轴上。
:对于焦点在x轴上,中心在原点:(a>b>0)有以下性质:
坐标系下的性质:
范围:|x|≤a,|y|≤b;
对称性:对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O(0,0);
顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴|A1A2|=2a,短轴|B1B2|=2b;(半长轴长,半短轴长);
准线方程:;或
焦半径公式:P(x0,y0)为椭圆上任一点。|PF1|==a+ex0,|PF2|==a-ex0;|PF1|==a+ey0,|PF2|==a-ey0;
平面几何性质:
离心率:e=(焦距与长轴长之比);越大越扁,是圆。
焦准距;准线间距
两个最大角
焦点在y轴上,中心在原点:(a>b>0)的性质可类似的给出(请课后完成)。
:椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。
:待定系数法与轨迹方程法。
:椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.
:
例1:(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=2/3。则椭圆方程为________________。
(2) 设椭圆上的点P到右准线的距离为10,那么点P到左焦点的距离等于_______。
(3) 已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点与上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,椭圆的离心率e=_______。(教材P页例1)。
(4)已知椭圆上的点P到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍,则P的坐标是_________。
解:(1) ∵椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=2/3,∴点A不是长轴的端点。∴|OF|=c,|AF|=a=3,∴c=2,b2=5。∴椭圆方程是,或。
(2)由椭圆的第二定义得:点P到左焦点的距离等于12。
(3) 设椭圆方程为(a>b>0),, F1(-c,0),则点,由PO∥AB得kAB=kOP即,∴b=c,故。
(4)设P(x,y),F1,F2分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为,
故,∵|PF1|=