文档介绍：第1章矢量分析
/ -1 矢径与各坐标轴正向的夹角分别为,,。请用坐标(x,y,z)来表示,, ,并证明
[解]

, 得证.
/ -2设xy 平面上二矢径、与x轴的夹角分别为、,请利用证明。
[解] 设

则
因、夹角为,如图所示,有

比较上二式得, 得证.
/ -3 ,,求:(a); (b) ; (c)
[解] (a) =
(b) =
(c)
/ -4 -3题矢量和的夹角。
[解1]
[解2]

[解3]
/ -5 设,,若使(a),或(b) ,则b和c应为多少?
[解] (a) ,则
(b) ,则,故

得 b=3, c= -8
/ -6 设,为使,且的模B=1,请确定a、b、c。
[解] ,则,故

即
又因,得
/ -7 已知三个矢量如下: ,,,请用两种方法计算(a) ;(b) ;(c) 。
[解] (a) 1.

2.
(b) 1.
2
.
(c) 1.
2.
/ -1 已知,,在点(2,1,2)处,试求:(a); (b); (c)。
[解] (a)
(b)
(c)

/ -2 设,,请用两种方法计算在(1,2,3)点的值。
[解] 1.
2.

/ -3 已知矢径, ,试证:(a);
(b) 。
[证] (a)
(b)
/ -4 设电场强度,对直角坐标系第一象限内的正立方体,每边均为单位长,其中一个顶点位于坐标原点,请验证散度定理成立。
[证] -5,但各边长为1,则

上二积分结果相同,故
/ -5应用散度定理计算下述积分: ,
s是z=0和所围成的半球区域的外表面,球坐标体积元为。
[解]
/ -1 设,求点(1,0,0)处的旋度及沿方向和方向的环量面密度。
[解]
/ -2 求下列矢量场的旋度: (a) ;(b)。
[解] (a)
(b)
/ -3 设常矢量,矢径,试证
[证]
/ -4已知,,试证(a);
(b),, 是r的函数。
[证] (a)
(b)

/ -5 设,试计算面积分,s为xy平面第一象限内
半径为3的四分之一圆,即x的积分限为(0,),y的积分限为(0,3),并验证斯托克斯定理。
[解]

又
由上, , 斯托克斯定理成立.
/ -1 求标量场在点(2,2,0)处的梯度及沿方向的方向导数。
[解]
/ -2 求标量场在点P(2,2,1)处的最大变化率值及沿方向的方向导数。
[解]

/ -3 已知,试求:(a),n为正整数;(b) , 是r的函数。
[解] (a)
(b)
/ -4 已知c为常数,和为常矢量,矢径
。试证:(a);(b);(c) 。
[证] (a)
(b) ,
(c) / -1已知P点的直角坐标为(2,2,1),请确定其柱坐标和球坐标。
[解] 柱坐标:
球坐标:

or
/ -2 已知z=0平面上源点的矢径为,场点位于其矢径为,且有、,试证源点至场点距离为。
注:当,。
[证]