文档介绍：高等数学期末大作业
数学建模之
足球任意球射门微分方程模型分析
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问题背景:足球比赛中,当在大禁区边缘发点任意球时,是否命中往往与球员射门时的出射角度,射门力度(即出球速度),和射门方向有关。下面,具体研究这一过程。
射门方向为正向对球门
问题假设:大禁区距离球门线距离为s,球门高度为H,守门员能触及的最大高度为h,出射速度为v0,出射角度(初速度与地面的夹角)为α,空气阻力f=kv,重力加速度为g,足球质量为m
模型构成与求解:
水平方向上,球做V0cosα为初速度的减速运动
其中有牛顿第二定律得
m d2sx/dt2=- k(ds/dt)…………………………………(1)
垂直方向上,球做竖直上抛运动初速度为v0sinα
同样有牛顿第二定律得:
m d2sy/dt2=mg-k(ds/dt) ………………………………(2)
sy =H …………………………………………………(3)
sy =h……………………………………………………(4)
sx=s……………………………………………………(5)
sx0=0,sx/dt│t=0=v0cosα,sy/dt│t=0=v0sinα……(6)(初值)
联立上式解该微分方程(1):
并带入初值dsx/dt│t=0=v0cosα sx0=0
解得 sx=(k/m) v0cosα(1-e-kt/m)
同理,解微分方程(2)
m d2sy/dt2=mg-k(ds/dt) 并带入初值dsy/dt│t=0=v0sinα以及sy0=0
解得
Sy=m/k(v0sinα+mg/k)(1-e-kt/m)-mg/k
所以由上球的足球