文档介绍：数列求和
[知识梳理]
(1)等差数列求和公式:
Sn==na1+d.
(2)等比数列求和公式:
Sn=
(1)倒序相加法;(2)分组求和法;(3)并项求和法;(4)错位相减法;(5)裂项相消法.
常见的裂项公式:
①=;
②=;
③=;
④=(-).
(1)1+2+3+4+…+n=;
(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2;
(3)12+22+32+…+n2=;
(4)13+23+33+…+n3=2.
[诊断自测]
(1)已知等差数列{an}的公差为d,则有=.( )
(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=.( )
(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( )
(4)若数列a1,a2-a1,…,an-an-1是(n>1,n∈N*)首项为1,公比为3的等比数列,则数列{an}的通项公式是an=.( )
答案(1)× (2)√(3)× (4)√
(1)(必修A5 P47T4)数列{an}中,an=,若{an}的前n项和为,则项数n为( )
答案 D
解析 an=-,Sn=1-=,又前n项和为,所以n=.
(2)(必修A5 P38T8)一个球从100 m高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,经过的路程是( )
+200(1-2-9) +100(1-2-9)
(1-2-9) (1-2-9)
答案 A
解析第10次着地时,经过的路程为100+2(50+25+…+100×2-9)=100+2×100×(2-1+2-2+…+2-9)=100+200×=100+200(1-2-9).故选A.
(1)数列{an}的通项公式为an=ncos,其前n项和为Sn,则S2018等于( )
A.-1010
答案 A
解析易知a1=cos=0,a2=2cosπ=-2,a3=0,a4=4,….
所以数列{an}的所有奇数项为0,前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为-2,4,-6,8,…,-2014,=0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-2014+2016)==0,a2018=2018×cos=-2018,∴S2018=S2016+a2018=1008-2018=-.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=________.
答案-
解析∵an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴-=1,∴是等差数列,且公差为-1,而==-1,∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-.
题型1 错位相减法求和
已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn=,}的前n项和Tn.
利用an=Sn-Sn-1(n≥2)、方程思想、错位相减法.
解(1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.
当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5.
设数列{bn}的公差为d.
由即
可解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1.
(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.
又Tn=c1+c2+…+cn,
得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],
两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×=-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2.
方法技巧
利用错位相减法的一般类型及思路
:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q≠1的等比数列.
:设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn,(*)
则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1,(**)
(*)-(**)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,.
提醒:用错位相减法求和时容易出