文档介绍：一三重积分的概念
(二) 柱坐标下的计算
(一) 直角坐标下的计算
三三重积分的变量代换
二三重积分的计算
(三) 球坐标下的计算
第三节三重积分
类似二重积分解决问题的思想, 采用

引例: 设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
一三重积分的概念
定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
在上的三重积分.
在直角坐标系下常写作
三重积分的性质与二重积分相似.
性质:
下列“乘
中值定理.
在有界闭域上连续,
则存在
使得
V 为的
体积,
积和式”极限
记作
方法1 . 投影法(“先一后二”)
方法2 . 截面法(“先二后一”)
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数,
方法:
二三重积分的计算
(一) 直角坐标下的计算
1 坐标面投影法(“先一后二”)
则称
为XY-型.
的类型
(1)
在
作垂直
边界交点不多于两个,
记
围
顶
过D内任一点
面投影是有界闭区域记为D ,
面的直线与
类似可以定义YZ-型, XZ-型
YZ-型记为
XZ-型记为
(2)坐标面投影法(“先一后二”)计算三重积分
(A)先假设连续函数
并将它看作某物体
是该物体的质量引出下列各计算
的密度函数, 则
我们通过计算该物体的质量的方法引出计算三重积
分的方法.
首先假设
为XY-型
该物体的质量
记作
将线段的质量压缩到点
,则得到
区域D的面密度
如图线段的质量为
先一
后二
若
记作
则
记作
三重积分的计算方法之一是用先一后二的方法最终
将它转化为三次积分进行计算.