文档介绍：竞赛讲座32
-多边形的面积和面积变换
本讲在初二几何范围内,,简列如下:
(1)       全等形的面积相等;
(2)       多边形的面积定理(三角形、梯形等,略);
(3)       等底等高的三角形,平行四边形,梯形的面积相等(对梯形底相等应理解为两底和相等);
(4)       等底(等高)的三角形,平行四边形,梯形的面积比等于这底上的高(这高对应的底)的比.
以下约定以△ABC同时表示△ABC的面积.
1.  多边形的面积
例1  (第34届美国中学数学竞赛题)在图23-1的平面图形中,边AF与CD平行,BC与ED平行,各边长为1,且∠FAB=∠BCD=,该图形的面积是(   )
(A)  (B)1  (C)  (D)  (E)2
分析  将这个图形分解为若干个基本图形——三角形,连BF、BE、BD得四个与△ABF全等的正三角形,(D).
例2          (第5届美国数学邀请赛试题)如图23-2五条线段把矩形ABCD分成了面积相等的四部分,其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX,=19cm,PQ=87cm,则AB的长度等于_________.
分析  如图,延长PQ交AD、CB于E、+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ与梯形PQYX面积相等,故E、F分别为AD、CB的中点.
而SAXPWD=SBYQZC,∴EP=QF,设为e.
由SAXPWD=SPQZW  得
∴2e=106,
∴AB=2e+87=193.
-3四边形ABCD的两边BA和CD相交于G,E、F各为BD、:△EFG的面积等于四边形ABCD面积的四分之一.
分析  注意到E、F各为BD、AC的中点,连结EA、
如果能够证明△EFG的面积等于四边形AEFD的面积,,取AD的中点P,连PE、PF,则PE∥GB,PF∥△GEP=△AEP,△GFP=△△PEF公用.∴△GEF=,.
2.  利用面积变换解几何题
先看一个例子.
、BC为一边各向外侧作正方形ACDE、BCGH,连结BE、AH分别交AC、BC于P、:CP=CQ.
证明(如图23-4)显然S△GCQ=S△HCQ,
∵HB∥AG,
∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC.
同理,S△BDP=S△ABC.
∴S△AGQ=S△BDP,
∴CQ·AG=CP·BD.
∵AG=AC+GC
=DC+BC=BD,
∴CP=CQ.
此例是关于平面图形中线段的等式,看似与面积无关,.
例5  (第37届美国中学数学竞赛题)图23-5中,ABCDE是正五边形,AP、AQ和AR是由A向CD、,若OP=1,则AO+AQ+AR等于(   ).
(A)3  (B)1+
(C)4  (D)2+  (E)5
分析  因题设中AP、AQ、AR分别与CD、CB、DE垂直,
即
由CD=BC=DE,
则AP+AQ+AR=5·OP
故AO+AQ+AR=(C).
例6  (第37届美国中学数学竞赛题),那么它的长度最大可能是(   ).
(A)4  (B)5  (C)6  (D)7
(E)不同于(A)-(D)的答案
解  设△ABC第三边上的高为h,面积为S,则该三角形的三边可表示为
显见>.据“三角形两边之和大于第三边”有+>,+>.
解得3<h<(B).
例7         图23-6中,已知AB是直角三角形ABC的斜边,在射线AC、BC上各取一点、,使P、Q是△ABC内两点,如果P,Q到△ABC各边的距离之和相等,则PQ∥;反之亦然.
证明  设P、Q到△ABC各边的距离之和分别为S(P),S(Q).连PA、PB、P、P,不难发现△APB+△AP+△PB-△P=△ABC-△C(定值).
于是
=
同理,
显然,当S(P)=S(Q)时,,
∴PQ∥
反之,当PQ∥时,
∴S(P)=S(Q).
3.  一个定理的应用定理
已知△ABC、△DBC共边BC,AD交BC或其延长线于