文档介绍：第四章连续系统的频域分析
信号分解为正交函数
傅里叶级数
周期信号的频谱
非周期信号的频谱——傅里叶变换
傅里叶变换的性质
周期信号的傅里叶变换
LTI系统的频域分析
取样定理
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第四章连续系统的频域分析
信号分解为正交函数
一、矢量正交与正交分解
时域分析,以冲激函数为基本信号,任意输入信号可分解为一系列冲激函数;而yf(t) = h(t)*f(t)。
本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号,任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。
这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义:
其内积为0。即
信号分解为正交函数
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
如三维空间中,以矢量
vx=(2,0,0)、vy=(0,2,0)、vz=(0,0,2)
所组成的集合就是一个正交矢量集。
例如对于一个三维空间的矢量A =(2,5,8),可以用一个三维正交矢量集{ vx,vy,vz}分量的线性组合表示。即
A= vx+ vy+ 4 vz
矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间,在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号,使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
信号分解为正交函数
二、信号正交与正交函数集
1. 定义:
定义在(t1,t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
(两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1,t2)内正交。
2. 正交函数集:
若n个函数 1(t), 2(t),…, n(t)构成一个函数集,当这些函数在区间(t1,t2)内满足
则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。
信号分解为正交函数
3. 完备正交函数集:
如果在正交函数集{1(t), 2(t),…, n(t)}之外,不存在函数φ(t)(≠0)满足
则称此函数集为完备正交函数集。
例如:三角函数集{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…} 和虚指数函数集{ejnΩt,n=0,±1,±2,…}是两组典型的在区间(t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
( i =1,2,…,n)
信号分解为正交函数
三、信号的正交分解
设有n个函数 1(t), 2(t),…, n(t)在区间(t1,t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似,可表示为
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1,t2)内为最小。
通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为
信号分解为正交函数
为使上式最小
展开上式中的被积函数,并求导。上式中只有两项不为0,写为
即
所以系数
信号分解为正交函数
代入,得最小均方误差(推导过程见教材)
在用正交函数去近似f(t)时,所取得项数越多,即n越大,则均方误差越小。当n→∞时(为完备正交函数集),均方误差为零。此时有
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式,表明:在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
傅里叶级数
傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
设周期信号f(t),其周期为T,角频率=2/T,当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时,它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数
系数an , bn称为傅里叶系数
可见, an 是n的偶函数, bn是n的奇函数。
傅里叶级数
式中,A0 = a0
上式表明,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
其中, A0/2为直流分量;
A1cos(t+1)称为基波或一次谐波,它的角频率与原周期信号相同;
A2cos(2t+2)称为二次谐波,它的频率是基波的2倍;
一般而言,Ancos(nt+n)称为n次谐波。
可见An是n的偶函数, n是n的奇函数。
an = Ancosn, bn = –Ansin n,n=1,2,…
将上式同频率项合并,可写为