文档介绍：平面向量三点共线定理的推论及空间推广

平面向量三点共线定理:
对于共面向量,,则、、三点共线的充要条件是.

,如果、时,分别有什么结论?
问题2.、有什么特定的意义吗?
?

推论1. 对于不共线向量,若,则
(1)点在直线外侧(不含点一侧)的充要条件是.
(2)点在直线内侧(含点一侧)的充要条件是.
证明:(1)必要性:如图1-1,连OC交AB于点,则存在实数,使得,,,,.
充分性:,存在,使得且.
,在直线上,在直线外侧.
同理可证(2).
推论. 对于不共线向量,若,则
(1)连接得直线,过点作平行于的直线,则、将平面分成三个区域,如图1-2点落在各区域时,、满足的条件是:(Ⅰ)区:;(Ⅱ)区:;(Ⅲ)区:.特别地,当点落在上时,;当点落在上时,.
(2)直线、将平面分成四个区域,如图1-3,则点落在各区域时,、满足的条件是:(Ⅰ)区:;(Ⅱ)区:;(Ⅲ)区:;(Ⅳ)区:.
,,则,且当,则点在线段
上;当,则点在线段的延长线上;当,则点在线段的延长线上.
证明:且,,,
。当时,与同向,如图2-1所示,则点在线段上;当时,与反向,且,如图2-2所示,则点在线段的延长线上;当时,与反向,且,如图2-3所示,则点在线段的延长线上.
推论3. 点是所在平面上且与不重合的一点,若,则,,.
证明:只证的情形,其它情形可类似证明.
由得,,存在点使得,且,,,如图3,,同理有,,命题得证.
将以上结论拓展到空间,得:
推论4. 对于不共面的向量,若,则:
(1)若,则点在平面上(空间向量基本定理);
(2)若,则点在平面的外侧(不含点O一侧);
(3)若,则点在平面的内侧(含点O一侧).
推论5. 对于不共面的向量,若,则
(1),,;
(2);
(3),,.
证明:(1),,由推论3知结论成立.
(2)由(1)得证.
(3),同理可证,.
,若,则
.
证明:只证的情形,其它情形可类似证明.
由,得,令,则四点共面,由推论5,,又,如图4,知,,同理可证,,
,命题得证.

,∥,点在由射线,线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是;当时,的取值范围是.
解析:由推论1及推论,有,且当,有,
即. 答案为:,(,).