文档介绍：Gauss型数值求积公式
正交多项式及其零点
数值微分方法
数值积分与数值微分应用
《数值分析》 22
高斯型数值求积公式
考虑两点插值型求积公式
为使代数精度尽可能高,取 f(x)=1, x, x2, x3
(1)
(2)
(3)
(4)
(4)-(2)×x02
x12= x02
(3)-(1) ×x02
x02=1/3
2/18
显然,A0=1,A1=
对于[a, b]区间上的定积分,构造变换
t∈[-1, 1]
3/18
定义如果求积结点x0, x1,······,xn,使插值型求积公式
的代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积公式. 称这些求积结点为Gauss点.
如果多项式wn+1(x)=(x – x0) (x – x1)···(x – xn)
与任意的不超过n次的多项式P(x) 正交,即
则, wn+1(x)的所有零点x0, x1 ,······, xn 是Gauss点
证明: 设f (x)是任意(2n+1)次多项式, 由多项式除法
4/18
构造插值型求积公式,有
由于 Q(xk)= Q(xk)+wk+1(xk)P(xk) = f (xk)
其中,P(x) ,Q(x) 均为n次多项式. 两端积分,得
其中,
所以
插值结点为wn+1(x)的零点
5/18
例证明多项式是[–1,1]上正交多项式.
证: 显然
两点Gauss公式
得Gauss点
插值公式:
6/18
三点Gauss数值求积公式
Legendre多项式递推式
7/18
解:作变换 x = ( t + 1 ), 则
取
=
MATLAB函数: sinint(1)=
8/18
(t)数据如下
t
D(t)
用数值微分求速率v(10)
9/18
Tylor展开方法
一阶向前差商
一阶向后差商
10/18