高等代数（II）期末考试试卷及答案（A卷）.doc

文档介绍：高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)
填空题(每小题3分,共15分)
1、线性空间的两个子空间的交
2、设与是n维线性空间 V的两个基,
由到的过渡矩阵是C,列向量X是V
中向量在基下的坐标,则在基下
的坐标是
3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵,
则A与B的关系是
4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为:
则其特征矩阵的标准形是
5、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是:

单项选择题(每小题3分,共15分)
( )复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个
线性空间同构:
(A)数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间;
(B)数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间;
(C)数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间;
(D)复数域C作为复数域C上的线性空间。
2、( )设A是非零线性空间 V 的线性变换,则下列命题正确的是:
(A)A的核是零子空间的充要条件是A是满射;
(B)A的核是V的充要条件是A是满射;
(C)A的值域是零子空间的充要条件是A是满射;
(D)A的值域是V的充要条件是A是满射。
3、( )矩阵可逆的充要条件是:
是一个非零常数;
是满秩的;是方阵。
4、( )设实二次型(A为对称阵)经正交变换后化为:
, 则其中的是:
全是正数;是A的所有特征值;不确定。
5、( )设3阶实对称矩阵A有三重特征根“”,则A的若当
标准形是:
以上各情形皆有可能。
是非题(每小题2分,共10分)
(请在你认为对的小题对应的括号内打“√”,否则打“´”)
1、( )设V1,V2均是n维线性空间V的子空间,且
则。
2、( )n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下
的矩阵是一对角矩阵。
3、( )同阶方阵A与B相似的充要条件是与
等价。
4、( )n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、( )欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
解答题(每小题10分,共30分)
1、在线性空间中,定义线性变换:
(1)求该线性变换A在自然基:
下的矩阵A;
(2)求矩阵A的所有特征值和特征向量。
2、(1)求线性空间中从基到基
的过渡矩阵;
(2)求线性空间中向量在基
下的坐标。






3、在R2中,,规定二元函数:
证明:这是R2的一个内积。
求R2的一个标准正交基。
证明题(每小题10分,共30分)
设P3的两个子空间分别为:
证明:(1);
(2)不是直和。
2、设A是数域P上线性空间V的线性变换,证明
是A的不变子空间的兖要条件是
3、已知是n级正定矩阵,证明:
(1)A是正定矩阵;
(2)
答案
填空题(每小题3分,共15分)
1、线性空间的两个子空间的交
2、设与是n维线性空间 V的两个基,
由到的过渡矩阵是C,列向量X是V
中向量在基下的坐标,则在基下
的坐标是
3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵,
则A与B的关系是相似关系
4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为:
则其特征矩阵的标准形是
5、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是:

单项选择题(每小题3分,共15分)
( A )复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个
线性空间同构:
(A)数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间;
(B)数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间;
(C)数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间;
(D)复数域C作为复数域C上的线性空间。
2、( D )设A是非零线性空间 V 的线性变换,则下列命题正确的是:
(A)A的核是零子空间的充要条件是A是满射;
(B)A的核是V的充要条件是A是满射;
(C)A的值域是零子空间的充要条件是A是满射;
(D)A的值域是V的充要条件是A是满射。
3、( B )矩阵可逆的充要条件是:
是一个非零常数;
是满秩的;是方阵。
4、( C )设实二次型(A为对称阵)经正交变换后化为:
, 则其中的是:
全是正数;是A的所有特征值;不确定。
5、( A )设3阶实对称矩阵A有三重特征根“”,则A的若当
标准形是:
以上各情形皆有可能。
是非题(每小题2分,共10分)
(请在你认为对的小题对应的括号内打“√”,否则打“´”)
1、( × )设V1,V2均是n维线性空间V的子空间,且
则。
2、( √)n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下
的矩阵是一对角矩阵。
3、( √)同阶方阵A与B相似的充要条件是与
等价。
4、( × )n维欧氏空间的