线性代数 同济大学45.pptx

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§5. 向量空间
一、向量空间的概念
二、子空间
三、向量空间的基与维数
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一、向量空间的概念
定义1 设V为 n维向量的集合,如果集合V非空,
且集合V对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称
集合 V为向量空间.
说明

若V,V, 则V;
若V, R, 则V.
,记作Rn .
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3
注意:
齐次线性方程组的解集 S { x | Ax  0 }是向量
空间,称为解空间。
非齐次线性方程组的解集 S { x | Ax  b }不是
向量空间。
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例1 3维向量的全体 R3,是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量,数
乘3维向量仍然是3维向量,它们都属于R3.
类似地, n维向量的全体 Rn,也是一个向量空
间.
0,a2  b2,,an  bnV1
0,a2,,anV1.
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例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2,, xnT x2,, xn  R
解 V1是向量空间.
因为对于V1的任意两个元素
T T
T
有
T
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例3 判别下列集合是否为向量空间.
T
解 V2不是向量空间.
T
T
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例4 设a,b为两个已知的 n维向量,集合
V x a b, R
试判断集合是否为向量空间.
解 x1 1a 1b
x2 2a 2b, 则有
x1  x2 (1 2)a (1 2)bV,
kx1 (k1)a (k1)bV.
这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空
间.
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一般地, 由向量组 a1,a2,,am 所生成的向量空间为
Lx1a12a2 mam1,2,,mR
说明
易知 L与 a1,a2,,am 等价;
若 ai1,ai2,,air 为a1,a2,,am 的一个最大无关组,
则ai1,ai2,,air 为向量空间 L的一个最大无关组。
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设向量组a1,,am与向量组b1,,bs等价,
例5
记
V1 x 1a1 2a2 mam 1,2,,m  R
V2 x 1b1 2b2 sbs 1,2,s  R
试证:V1 V2.
证设xV1,则x可由a1,,am线性表示.
因a1,,am可由b1,,bs线性表示,故x可由b1,,
bs线性表示,所以xV2.
这就是说,若xV1,则xV2,因此V1 V2.
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记
V1 x 1a1 2a2 mam 1,2,,m  R
V2 x 1b1 2b2 sbs 1,2,s  R
试证:V1 V2.
类似地可证:若xV2,则xV1, 因此V2 V1.
因为V1 V2,V2 V1,所以V1 V2.
设向量组a1,,am与向量组b1,,bs等价,
例5