文档介绍：切线长定理
已知⊙o及⊙o外的一点P,PA与⊙o相切于A点,连接OA、OP,如果将⊙o沿直线OP翻折,存在一点与A点重合吗?
思考:
根据圆的轴对称性,存在与A点重合的一点B,且落在圆,连接OB,则它也是⊙o的一条半径。
O
P
A
B
你能发现OA与OB,PA与PB之间的关系吗?
PA、PB所在的直线分别是⊙o两条切线。
∟
∟
切线长概念
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
如图,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,我们把线段PA,PB叫做点P到⊙O的切线长。
O
P
A
B
切线和切线长是两个不同的概念,
切线是直线,不能度量;
切线和切线长
O
P
A
B
切线长是线段的长,这条线段的两个端点
分别是圆外一点和切点,可以度量。
A
根据你的直观判断,猜想图中PA是否等于PB?∠1与∠2又有什么关系?
证明:
猜想证明
∵PA、PB是⊙o的两条切线,
∴OA⊥AP,OB⊥BP,
又OA=OB,OP=OP,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴PA=PB,∠1=∠2
从圆外一点引圆的两条切线,
它们的切线长相等,这一点
和圆心的连线平分两条切线
的夹角。
切线长定理:
思考
这是一块三角形材料中,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
作三角形内切圆的方法:
A
B
C
1、作∠B、∠,交点为I。
I
⊥BC,垂足为D。
,I D为半径作⊙I.
D
M
N
⊙I就是所求的圆。
1、定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等;
内心与顶点连线平分内角。
O
A
B
C
三角形的内切圆
内心是三条角平分线的交点。
例2、已知:在△ABC的内切圆⊙O和BC、AC、AB分别切于点D、E、F, AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD和CE的长。
C
B
A
E
D
F
O
r
解:设AF=x(cm)
∴AF=4
∴BD=BF=AB-AF=9-4=5
∴CE=CD=BC-BD=14-5=9
则AE=x
CE = CD = 13 – x
BD = BF = 9 – x
而BD+CD=BC
∴(13-x)+(9-x)=14
解得 x=4
(1)∵点O是△ABC的内心,
∴∠BOC=180 °-(∠1+ ∠3)
= 180 °-(25°+ 35 °)
1、如图,在△ABC中,点O是内心, 若∠ABC=50°, ∠ACB=70°,求∠BOC的度数
A
B
C
O
=120 °
)
1
(
3
2
)
4
(
同理∠3= ∠4= ∠ACB= 70° = 35°
∴∠1= ∠2= ∠ABC= 50°= 25°