文档介绍：三、如图1所示,三个刚性齿轮啮合,其转动惯量分别为I1、I2、I3,齿数分别为Z1、Z2、Z3,轴1、轴2、轴3的扭转刚度分别为k1、k2、 k3,试求该系统作微幅振动时的固有频率。(15分)
图1
解:
(1)建立坐标,求各轴转角之间的关系:(3分)
设轴1转角为x1。则轴2的转角x2、轴3的转角x3分别为:
x2=x1
x3=x2=×x1=x1
(2)系统的动能:(4分)
ET =I1+I2+I3=[ I1+ I2()2+ I3()2]
(3)系统的势能:(4分)
U=k1x+k2x+k3x=[ k1+ k2()2+ k3()2] x
(4)求系统的固有频率:(4分)
由d(U+ET)=0得:
[ I1+ I2()2+ I3()2]+ [ k1+ k2()2+ k3()2]x1 = 0
w= [ k1+ k2()2+ k3()2]/ [ I1+ I2()2+ I3()2]
四、如图2所示系统:k1=k,k2=3k、k3=6k、k4=3k,(1)试写出其运动微分方程组;(2)求出系统的固有频率(3)在图示运动平面上,绘出与固有频率对应的振型图。(15分)
解:
(1)按图示取坐标:(2分)
取x1,x2为描述系统运动的广义坐标,即
{x}={x1,x2}T
各个自由度的原点均取静平衡位置,以向上、向右为坐标正方向。
(2)列出系统的质量矩阵和刚度矩阵(3分)
[M]=
[K]=
(3)列出系统的运动微分方程(2分)
{}+{}=0
(4)求系统的固有频率(4分)
= (4k-mw2)(9k- mw2)= 0
w=
w=
(5)求系统的振型、绘制振型图(4分)
由有:
(4k-mw2)u11 =0
(4k-wm)u22=0
由此可知:u21与 u11、u12与 u22毫不相关,即该系统是两个独立振动的单自由度系统。
令u11= u22=1
即振型为:
{u1}={1,0}T
{u2}={0,1}T
固有频率为w1 时振型图固有频率为w2时振型图
五、如图3所示系统,试用能量法求出其质量矩阵、刚度矩阵。假设为均质杆。(10分)
图3
解:
(1)取坐标:(2分)
取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标,即
{x}={yA,yB,y1,y2}T
各个自由度的原点均取静平衡位置,以向上为坐标正方向。
(2)系统的动能:(2分)
(3)系统的势能:(2分)
U=k1y+k2y+k3(yA-y1)2+k4(yB-y2)2
(4)求质量矩阵:(2分)
(5)求刚度矩阵:(2分)
k11= = k3
k12= =0= k21
k13= =- k3= k31
k14= = 0 = k41
k22= = k4
k23= = 0 =k32
k24= =- k4=k42
k33= = k1+k3
k34= = 0 = k43
k44= = k2+k4
[K]=
三、计算题(本题45分)
1、设有两个刚度分别为,的线性弹簧如图1,计算它们并联时和串联时的总刚度。(5分)
图1
图2
图3
2、一质量为、转动惯量为的圆柱体作自由纯滚动,圆心受到一弹簧约束,如图2所示,求系统的固有频率。(15分)
3、求如图3所示的三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型。(25分)(设)
计算题(本题45分)
:1)对系统施加力P,则两个弹簧的变形相同为,但受力不同,分别为:
由力的平衡有:
故等效刚度为:
2)对系统施加力P,则两个弹簧的变形为:
,弹簧的总变形为:
故等效刚度为:
2. 解:取圆柱体的转角为坐标,逆时针为正,静平衡位置时,则当有转角时,系统有:
由可知:
即: (rad/s)
:以静平衡位置为原点,设的位移为广义坐标,系统的动能和势能分别为
求偏导得到:
得到系统的广义特征值问题方程:
和频率方程:
即:
解得:和
所以:
将频率代入广义特征值问题方程解得:
;
;
;
三、计算题(45分)
、(14分)如图所示中,两个摩擦轮可分别绕水平轴O1,O2转动,无相对滑动;摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为r1、m1、I1和r2、m2、I2。轮2的轮缘上连接一刚度为k的弹簧,轮1的轮缘上有软绳悬挂质量为m的物体,求:
1)系统微振的固有频率;(10分)
图1
2)系统微振的周期;(4分)。
、(16分)如图所示扭转系统。设转动惯量I1=I2,扭转刚度Kr1=Kr2。
1)写出系统的动能函数和势能函数; (4分)
2)求出系统的刚度矩阵和质量