文档介绍：一、函数与几何综合的压轴题
1.(2004安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、:A(-2,-6),C(1,-3)
求证:E点在y轴上;
如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.
如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
图②
C(1+k,-3)
A
(2,-6)
B
D
O
x
E′
y
C(1,-3)
A
(2,-6)
B
D
O
x
E
y
图①
[解] (1)(本小题介绍二种方法,供参考)
方法一:过E作EO′⊥x轴,垂足O′∴AB∥EO′∥DC
∴
又∵DO′+BO′=DB
∴
∵AB=6,DC=3,∴EO′=2
又∵,∴
∴DO′=DO,即O′与O重合,E在y轴上
方法二:由D(1,0),A(-2,-6),得DA直线方程:y=2x-2①
再由B(-2,0),C(1,-3),得BC直线方程:y=-x-2 ②
联立①②得
∴E点坐标(0,-2),即E点在y轴上
(2)设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A(-2,-6),C(1,-3)
E(0,-2)三点,得方程组
解得a=-1,b=0,c=-2
∴抛物线方程y=-x2-2
(3)(本小题给出三种方法,供参考)
由(1)当DC水平向右平移k后,过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。
同(1)可得: 得:E′F=2
方法一:又∵E′F∥AB,∴
S△AE′C= S△ADC- S△E′DC=
==DB=3+k
S=3+k为所求函数解析式
方法二:∵ BA∥DC,∴S△BCA=S△BDA
∴S△AE′C= S△BDE′
∴S=3+k为所求函数解析式.
证法三:S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2
同理:S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4
∴
∴S=3+k为所求函数解析式.
2. (2004广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点M(1,0)为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.
(1)求点A的坐标;
(2)设过点A的直线y=x+:直线AB是否⊙M的切线?并对你的结论加以证明;
(3)连接BC,记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2,若,抛物线
y=ax2+bx+c经过B、M两点,.
[解](1)解:由已知AM=,OM=1,
在Rt△AOM中,AO=,
∴点A的坐标为A(0,1)
(2)证:∵直线y=x+b过点A(0,1)∴1=0+b即b=1 ∴y=x+1
令y=0则x=-1 ∴B(—1,0),
AB=
在△ABM中,AB=,AM=,BM=2
∴△ABM是直角三角形,∠BAM=90°
∴直线AB是⊙M的切线
(3)解法一:由⑵得∠BAC=90°,AB=,AC=2,
∴BC=
∵∠BAC=90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC,
A
B
C
D
x
M
·
y
∴
而
,
设经过点B(—1,0)、M(1,0)的抛物线的解析式为:
y=a(+1)(x-1),(a≠0)即y=ax2-a,∴-a=±5,∴a=±5
∴抛物线的解析式为y=5x2-5或y=-5x2+5
解法二:(接上) 求得∴h=5
由已知所求抛物线经过点B(—1,0)、M(1、0),则抛物线的对称轴是y轴,由题意得抛物线的顶点坐标为(0,±5)
∴抛物线的解析式为y=a(x-0)2±5
又B(-1,0)、M(1,0)在抛物线上,∴a±5=0, a=±5
∴抛物线的解析式为 y=5x2-5或y=-5x2+5
解法三:(接上)求得∴h=5
因为抛物线的方程为y=ax2+bx+c(a≠0)
由已知得
∴抛物线的解析式为 y=5x2-5或y=-5x2+5.
3.(2004湖北荆门)如图,在直角坐标系中,以点P(1,-1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A、B两点,抛物线过点A、B,且顶点C在⊙P上.
(1)求⊙P上劣弧的长;
(2)求抛物线的解析式;
A
B
C
O
x
y
·
P(1,-1)
(3)在抛物线上是否存在一点D,使线段OC与PD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)如图,连结PB,过P作PM⊥x轴,垂足为M.
在Rt△PMB中,PB=2,PM=1,
∴∠MPB=60°,∴∠APB=