文档介绍：第二节运用数形结合思想解题的策略
数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,、填空题中更显其优越.
考试大纲的说明中强调:“在高考中,充分利用选择题和填空题的题型特点,为考查数形结合的思想提供了方便,能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识,而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法,解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主.”
考试要求展望2011年高考考查数形结合思法,可能会与以下内容为载体来命题:①函数与图象的对应关系;②曲线与方程的对应关系;③以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如三角函数等;④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.
题型一数形结合在函数与方程中的应用
,试求使方程有解的实数的取值范围.
点拨:利用对数相等的意义,同时构造两个函数,通过函数的图象有没有交点进而得出方程有没有解,从而确定出的取值范围.
解:原方程等价于
x
y
o
l3
l2
l1
图8-2
构造曲线,直线从而使问题转化为直线和双曲线() 在轴上半部分有交点,求实数的取值范围,如图8-2所示:
有三条临界直线、、
①当在和之间时,直线在轴上的截距
满足时,与有一个交点,
解之可得
②当在上方时,直线在轴上的截距满足
时, 与有一个交点,解之可得学科王
综合①②可得,所求的取值范围是
易错点: 解方程时很可能扩大的取值范围,另外数形结合不会利用双曲线渐近线.
变式与引申1:求函数的值域.
题型二数形结合在不等式中的应用学科王
,且,学科王
则.
点拨:通过数形结合的思想把一个解不等式的问题转化为求一条直线与半圆何时有交点.
解:令, .其示意图如图8-3:若,要满足,则,.
若,要满足,,从而不存在.
易错点:如不能联想到直线与圆的图象,则思维很容易受阻.
变式与引申2:已知函数有两个零点,则有( )
A. B. C. D.
题型三数形结合在平面向量中的应用
,,G为外心,求的值.
点拨:结合图形,利用平面向量基本定理和平面向量的三角形法则解题.
解:如图8-4所示,
设的中点为,则,且
.
易错点:不能将表示成,不能发现与的垂直关系.
变式与引申3:(1)如图8-5,,点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是;当时,的取值范围是.
C
A
O
M
B
N
D
图8-6
(2)如图8-6,是半圆的直径,是三等分点,,则的值是( )
题型四数形结合在解析几何中的应用
.
点拨:由题意可知,函数的定义域为,若从代数角度考虑,确实比较复杂;若借助两点间的距离公式,转化为几何问题,则非常容易解决
解:
令,,
则问题化