文档介绍：《经济数学基础》微积分
第4章:多元函数微分学
⒈了解空间直角坐标系的有关概念,知道几个简单的二次曲面,会求空间两点之间的距离。会用不等式组表示平面区域。
空间两点与间的距离公式:
⒉会求二元函数的定义域。
⒊了解二元函数的偏导数与全微分概念,熟练掌握求偏导数与全微分的方法。会求简单的二阶偏导数。
求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。
复合函数,其中,变量之间的关系可以用图形表示
x
u
z
y
v
利用“连线相乘,分线相加”的原则,得到复求合函数偏导的公式
,
函数的全微分为

例1 填空题
(1)空间两点与之间的距离是。
(2)函数的定义域是。
(3)设函数,= 。
(4)二元函数, 。
解:(1)由空间两点间的距离公式
=
正确答案:
(2)因为函数的定义域要求对数的真数大于零,分母不等于零,即
故且。
正确答案:且
(3)因为,所以。
正确答案:
(4)因为,所以。
正确答案:,
例2 单选题
(1)设,则( )。
A. B. C. D.
(2)设,,,若把z看作x,y的函数,则=( ).
A. B. C. D.
解:(1)因为,, 所以。
正确答案:D
(2)由,,解得,
因为, 所以=
正确答案:C
例3 (1)设,求及。
(2)设,求。
(3)设,求。
解(1)设,因为
由求复合函数偏导数公式,得

由复合函数的全微分公式,得
=
(2)因为, 所以
=

(3)[方法一] 公式法: 令
则, ,
利用隐函数求偏导数公式,得
,
[方法二] 因为方程有三个变量,所以只有两个变量是独立的,求时,将看成的函数。即在方程两边同时对x求导,得
解出,
同理,得
解出,
求时,是的函数,方程两边求导得
解出
[方法三] 利用微分形式的不变性和微分的运算求出全微分的同时,求出偏导数。
所以,。
若把微分式整理成:,得