文档介绍：归纳法在数学解题中的应用
黄永友(广东省中山市小榄实验高级中学 528415)
摘要:归纳推理是合情推理的一种,是人们从特殊到一般地认识事物本质的一种常用的思维推理思想。在解数学题时,我们可以通过解决特殊化的的问题,归纳出解决一般性问题的方法,在许多情况下,用这种归纳法解数学题还是最好、最快的方法。
关键词:特殊化、归纳法、简便快捷
在高中数学的新课程标准中,增加了合情推理和演绎推理一节内容。归纳推理是合情推理的一种,是人们从特殊到一般地认识事物本质的一种常用的思维推理思想。学好这种推理方法对解数学题有很大的好处,我们可以通过解决特殊化的的问题,归纳出解决一般性问题的方法。在许多情况下,用这种归纳法解数学题还是最好、最快的方法。
1 归纳法在解选择题中的应用
归纳法在解选择题中的应用主要表现为“特殊值法”。在选择题中,若对于某一大类条件,结果都有四个选项中的唯一项成立,那么用一个特殊化的条件(满足题目条件)代入选项,若可检查出唯一正确的选项,那么它就是答案。这种解法比由题目的条件、定理、公式用演绎推理要快捷得多。
例1(1994上海,12).若0<a<1,则下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D..
分析:,则.
因为是减函数,又,所以,故选A.
评:在解不等式的选择题中,很多题目都可用特殊性值法.
例2(1994全国,4).设是第二象限角,则必有( )
A. B. C. D..
解法一:,都有这四个选取项中唯一的一项正确,可取时,则有,显然可排除B、D;再取时,有,比较选项A、C,可知只有选项A是正确,故选A.
解法二:因为是第二象限角,所以有:
当k为偶数时,有;
当k为奇数时,
由三角函数和单位圆的性质,作出单位圆(如图1),观察可知:只有选项A是正确的.
评:从形式上看,这题解法二说理似乎是十分合理,但是其推理很难让人明白;而解法一只是用二个特殊角进行计算它们的三角函数值,进行比较就可知答案了,所以解法一快捷得多.
例3(1997上海,6).设,那么等于( ).
A. B. C. D.
解法一:=1时,有,只有选项D正确,故选D.
解法二:因为
故选D.
评:显然,这题的解法一采用特殊值法计算更为简便、快捷.
例4(2004全国IV,12).
设函数为奇函数,且则f(5)等于( ).
C.
分析:可用特例分析法.
由于函数为奇函数,且可取,则有:
故选C.
评:这题也可用抽象函数的代换法,但相对是比较难理解。
2 归纳法在解填空题中的应用
与解选择题类似,解填空题时也不需要写出解答过程,如果我们把问题中的不确定的量、位置特殊化,可以直接、.
,P为椭圆上的点(非长轴的端点),为焦点,A为△的内心,PA的延长线交于B,则BA:AP的值为( ).
解:把点P取在y轴上(如图3),则A、B也在y轴上,且B、O重合.
有由角平分线的性质可得:
评:此法避免了繁锁的计算,我认为是最好的方法.
3     归纳法在解解答题中的应用
在解某些解答题时,先对问题中的条件