文档介绍：第十章多维标度法
第一节引言
第二节古典多维标度法(Classical MDS)
第三节权重多维标度(WMDS)
第四节实例分析与计算实现
第一节引言
在实际中我们会经常遇到这些的问题,给你一组城市,你总能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城市的距离,你能否确定这些城市之间的相对位置呢?假定你知道只是哪两个城市最近,哪两个城市次近等等,你是否还能确定它们之间的相对位置呢?假定通过调查了解了10种饮料产品在消费者心中的相似程度,你能否确定这些产品在消费者心理空间中的相对位置呢?在实际中我们常常会遇到类似这样的问题。
多维标度法(Multidimensional Scaling)就是解决这类问题的一种方法,它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的多元数据分析技术,简称MDS。
多维标度法起源于心理测度学,用于理解人们判断的相似性。Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十年代的研究,具有突破性地提出了多维标度法,后经
Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。
多维标度法解决的问题是:当n个对象(object)中各对对象之间的相似性(或距离)给定时,确定这些对象在低维空间中的表示(感知图Perceptual Mapping),并使其尽可能与原先的相似性(或距离)“大体匹配”,使得由降维所引起的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对象,因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是说,两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示,而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。多维空间通常为二维或三维的欧氏空间,但也可以是非欧氏三维以上空间。
多维标度法内容丰富、方法较多。
按相似性(距离)数据测量尺度的不同MDS可分为:
度量MDS:当利用原始相似性(距离)的实际数值为间隔尺度和比率尺度时称为度量MDS(metric MDS)
非度量MDS:当利用原始相似性(距离)的等级顺序(即有序尺度)而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS)
按相似性(距离)矩阵的个数和MDS模型的性质MDS可分为:
古典多维标度CMDS(一个矩阵,无权重模型)
重复多维标度Replicated MDS(几个矩阵,无权重模型)
权重多维标度WMDS(几个矩阵,权重模型)
本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。
第二节古典多维标度法(Classical MDS)
一相似与距离的概念
二古典多维标度分析的思想及方法
三度量MDS的古典解
四非度量MDS的古典解(nonmetric MDS)
首先我们提出这样一个问题,,我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相对位置,使之尽可能接近表中的距离数据呢?
美国10城市间的飞行距离
一、相似与距离的概念
在解决上述问题之前,我们首先明确与多维标度法相关的数据概念。
相似数据:如果用较大的数据表示非常相似,用较小的数据表示非常不相似,则数据为相似数据。如用10表示两种饮料非常相似,用1表示两种饮料非常不相似。
不相似数据:如果用较大的数值表示非常不相似,较小的数值表示非常相似,则数据为不相似数据,也称距离数据。如用10表示两种饮料非常不相似,用1表示两种饮料非常相似。
一个n n阶的矩阵D=(dij ) n n ,如果满足条件:
在进行多维标度分析时,如果数据是多个分析变量的原始数据,则要根据聚类分析中介绍的方法,计算分析对象间的相似测度;如果数据不是广义距离阵,要通过一定的方法将其转换成广义距离阵才能进行多维标度分析。