文档介绍：第一章:绪论
1、数值计算的误差
2、有效数字的概念和确定方法
3、误差定性分析与避免误差危害<br****题及参考答案:
一、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数
,,
他们分别有几位有效数字。
他们的绝对误差限分别是多少。
计算下列各近似值的误差限:
①,②,③。
解:(1)
由得:,即有5位有效数字。
同理可得:有6位有效数字,有4位有效数字。
(2)由于各数都是经过四舍五入得到的近似数,则绝对误差限不超过最后一位的半个单
位,即
(3)①
②
③
二、对于积分。
(1)试推导递推公式;
(2)分析上述算法的数值稳定性;
(3)若上面算法不稳定,请选择合适的算法,并分析其稳定性。
解:(1)由
,(#)
可得递推公式
(2)当仅考虑初始值有误差时,由

可知误差满足:

因此该算法是不稳定的。
(3)由(#)式可得递推公式

对于上式算法,同理可知误差满足:

所以因此该算法是稳定的。
三、序列满足递推关系
,n=1,2,…。
若(三位有效数字),
(1)的误差多大?
(2)计算到时误差多少?
(3)这个计算过程稳定吗?
(4)简述你对算法的数值稳定性的理解。
解:(1)因,,的误差限为
(2)由知,,相减可得:

故的误差限为
(3) 由前两问知,计算到,其误差限为,亦即若在处有误差限为,则
在的误差将扩大倍,可见这个计算过程是不稳定的。
(4)对于某个算法,如果输入的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则该算法是
数值不稳定的,否则就是数值稳定的。
四、计算,取,利用下列算式计算,
①,②,③,④。
哪一个得到的结果最好?并简要说明原因。
你能否想出其他的算式进行计算,得到更好的结果?试给出,并简要说明理由。
解:(1)这4个算式都是恒等的,算式③最好。
根据避免误差危害的四个原则中的避免两相近数相减的原则,可以看出③最好。
(2)利用算式可以得到更好的结果。
根据避免误差危害的四个原则中的简化运算步骤,减少运算次数的原则,上面算式
优于③式。
设,的相对误差为1%。
求的误差;
求的相对误差。
解:(1)由题意知:1%
的误差为
1%
(2) 的误差为

的相对误差为
1%
第二章:非线性方程组的数值解法
1、二分法
2、不动点迭代法
3、牛顿迭代法、求重根的修正牛顿法
4、收敛性定理、收敛阶
第二章****题及参考答案
证明方程在中有且只有一个根,使得二分法求误差不大于的根需要迭代多少次?(不必求根)
解:设有

在上连续且
在上有根。
又当时,
所以。
综上,方程在中有且只有一个根。
采用二分法计算,其误差计算公式为

对于本题有

解得
取10既可满足。
求方程在附近的根,将其改写为如下4种不同的等价形式,构造相应的迭代公式,试分析它们的收敛性,选一种收敛速度最快的迭代公式求方程的根,精确至四位有效数字。
①;②;③;④。
解:对①,局部收敛
②,局部收敛
③,发散
④,发散
由于越小,收敛速度越快。
故取②式进行迭代计算。
迭代公式为。
满足终止条件
故精确至四位有效数字的近似值为。
用迭代法求方程的根,精确至三位有效数字。
解:设,
画图可知,该方程最多有两个根。
综上,
①求。迭代公式为,它对任意的均收敛。
取迭代可得满足终止条件
故
②求。迭代公式为,它对任意的均收敛。
取,同理可得:。
给定函数,设对一切,存在且,证明对于
内的任意定数,迭代过程均收敛于的根
。
证明:
为单调增函数。
故的根是唯一的(假定方程有根)
迭代函数
由于
则,有,亦,
故此迭代过程收敛。
综上,对于内的任意定数,迭代过程均收敛于
的根。
用牛顿法求在附近的根,要求计算结果准确到4位有效数字,根的准确值。
解:迭代函数
迭代公式:
取计算得到满足精度要求的近似值为。
六、应用牛顿法于方程①;②。分别导出求的迭代公式,并求极限
解:对①。
迭代函数
迭代公式:。
对②。
同理,迭代公式:。
记则
有(具体证明可参考P26定理7的证明)
对①,。
对②,。
讨论计算的迭代公式的收敛阶。
解:由题知:
迭代函数为
法一:有,。
经计算可知:
,
所以此迭代公式三阶收敛。
法二:有
对上式两端连续求导三次,得

将依次代入以上三式,并利用,得
。
所以此迭代公式三阶收敛。
是的几重根?取分别用牛顿公式与求