文档介绍：第一章:绪论 1 、数值计算的误差 2 、有效数字的概念和确定方法 3 、误差定性分析与避免误差危害****题及参考答案: 一、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数 8675 .4 1?x ,08675 .4 2?x ,08675 .0 3?x (1) 他们分别有几位有效数字。(2) 他们的绝对误差限分别是多少。(3) 计算下列各近似值的误差限: ①321xxx??,②21xx?,③2 1x x 。解:(1),10 2 1,48675 .010 8675 .4 41 1 ???????x 由4,1????nmm 得:5?n ,即 1x 有5 位有效数字。同理可得: 2x 有6 位有效数字, 3x 有4 位有效数字。(2) 由于各数都是经过四舍五入得到的近似数, 则绝对误差限不超过最后一位的半个单位, 2 1,10 2 1,10 2 1 53 52 41 ????????????(3)①532132110 6)( ????????????xxx ②412212110 2868 .2)( ???????????xxxx ③522 12212 110 3692 .1)( ???????x xxx x ???二、对于积分??? 10,2,1,0,999 ? ndx x x n 。(1 )试推导递推公式?,2,1, 1999 1?????nn II nn ; (2 )分析上述算法的数值稳定性; (3 )若上面算法不稳定,请选择合适的算法,并分析其稳定性。解:(1 )由??????????? 10 1 10 111999 999 999 n dxxdx x xxII n nnnn ,(#) 可得递推公式?,2,1, 1999 1?????nn II nn(2 )当仅考虑初始值有误差时,由, 1999 , 1999 1 *1 *n IIn II nnnn????????可知误差 nnnII??*?满足: ?,2,1,)999 (999 01??????n nnn???因此该算法是不稳定的。(3 )由( # )式可得递推公式) 1(999 1 1nnIn I???对于上式算法,同理可知误差 iiiII??*?满足: .1,1,,999 1 1??????nni ii??所以,)999 1( 0n n????因此该算法是稳定的。三、序列?? ny 满足递推关系 110 1???nnyy , n=1 ,2,…。若41 .12 0??y (三位有效数字), (1)0y 的误差多大? (2 )计算到 10y 时误差多少? (3 )这个计算过程稳定吗? (4 )简述你对算法的数值稳定性的理解。解:(1 )因41 .1 0?y ,2 0??y ,0y 的误差限为 0 20 *010 2 10042 .0???????? yy (2 )由110 1???nnyy 知,110 *1 *???nnyy ,相减可得: 11 *1 *10 10 ???????? nnnnnnyyyy??故10y 的误差限为 80 10 91010 2 110 10?????????( 3) 由前两问知,计算到 10y ,其误差限为 0 1010?,亦即若在 0y 处有误差限为 0?,则在10y 的误差将扩大 1010 倍,可见这个计算过程是不稳定的。(4) 对于某个算法, 如果输入的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制, 则该算法是数值不稳定的,否则就是数值稳定的。四、计算 6)12(??f ,?,利用下列算式计算, ①6)12( 1?,②3)223(?,③3)223( 1?,④270 99?。(1) 哪一个得到的结果最好?并简要说明原因。(2) 你能否想出其他的算式进行计算,得到更好的结果?试给出,并简要说明理由。解:(1 )这 4 个算式都是恒等的,算式③最好。根据避免误差危害的四个原则中的避免两相近数相减的原则,可以看出③最好。(2 )利用算式 270 99 1270 99???可以得到更好的结果。根据避免误差危害的四个原则中的简化运算步骤, 减少运算次数的原则, 上面算式优于③式。五、设0?x ,x 的相对误差为 1 %。(1)求 lnx 的误差; (2)求nx 的相对误差。解:(1 )由题意知: ???x xx r *? 1%x ln 的误差为????????????? rr xx xxx xxxx xxx???)1 ln( )1 ln( ln ln ln ln **** ln 1% (2)nx 的误差为)()( *1xxnx xE nn???nx 的相对误差为???????rn nnrnx xxnx xxxnxE?*1)*()( 1%n 第二章: 非线性方程组的数值解法 1 、二分法 2 、不动点迭代法 3 、牛顿迭代法、求重根的修正牛顿法 4 、收敛性定