文档介绍：有关除环上幂等矩阵的秩
的等式的探讨
杨英媛
(莆田学院数学系指导老师:杨忠鹏)
摘要:本文主要是探讨了除环上两个幂等矩阵的和、差、乘积的秩等式,得出了一个新的秩等式在域上也成立;同时也探讨了,假设系数为除环的中心时,除环上幂等矩阵的线性组合在与时的秩等式;在这篇文章中主要使用的方法是:标准型方法和矩阵分块技术以及分块矩阵高斯消元法。
关键词:除环中心幂等矩阵线性组合秩等式
Abstract:This paper mainly studys the rank identities of two idempotent matrices’sum,difference or product on division coefficients are in the center of division ring,this paper also mainly studys the rank identities of idempotent matrices’bination when characteristic is two or not on division this paper,it is mainly studied by applying standard methods,block matrix technology and block Gaussian elimination.
Keywords: Division ring The center Idempotent matrice bination Rank identities

符号说明及引言
早在20世纪六十年代初,著名数学家华罗庚,万哲先院士在其专著<<典型群>>序中就明确指出:“除环上的矩阵是一个值得注意的对象,因为它是一个不太失去普遍性的抽象事物,但同时又和成果丰富的具体的域上的矩阵距离不远.”除环上的矩阵理论属于非交换代数,它不可交换,无零因子,具有特征。因此不能用域上的矩阵理论去研究除环上的幂等矩阵。为了后面的写作方便,首先进行符号说明.
:除环上的阶矩阵:除环的中心
:除环上n阶幂等矩阵的集合
文[3]在文[4]已有的秩等式推广到了除环上,应用新的方法和技术来研究除环上幂等矩阵秩等式。文[2]采用标准型方法和矩阵的分块技术建立了除环上关于幂等矩阵秩的几个等式。本文也借鉴采用标准型方法和矩阵的分块技术方法。
文[5]给出域上的两个幂等矩阵的线性组合的秩等式,但没有证明。文[6]利用矩阵的核子空间及线性空间的同构的有关性质探讨了域上的幂等矩阵线性组合的秩等式。文[7]在文[4]的基础上证明了一些新的有趣的秩等式,通过它们给出了是可逆矩阵的一些充要条件,同时也涉及探讨了域上的幂等矩阵线性组合的秩等式。由于除环上元素的不可交换性,定义了除环的中心,除环的中心与除环上的每个元素都可交换。本文假设系数为除环的中心,探讨了幂等矩阵的线性组合在的秩等式。
本文主要①采用标准型方法和矩阵的分块技术得出除环上幂等矩阵的一个新的秩等式,在域上同样成立;②采用分块矩阵高斯消元法探讨幂等矩阵的线性组合在的秩等式。
1 预备定理
引理设则存在可逆矩阵,使得,
引理:设则
证明:这是引理1的自然结果.
引理: 的分块矩阵,其中则
,其中,的任意广义(1)—逆,即为的一个解,类似有的一个广义(1)—逆。
引理:设则

;
引理:设则下述结论成立:
(i)
(ii)
引理: 设则

引理: 设则
引理:设则

引理9:若是除环上幂等矩阵,则也是除环上的幂等矩阵。
证明:假设且,
则,且
所以
即也是除环上的幂等矩阵。
引理:设
引理11:设
证明:在引理10中令代入便可得到
引理12:若则
证明:由于,由引理4得到:
=
=

主要结果
除环上幂等矩阵和、差,乘积的秩等式
:设且,则()
证明:由得一个广义逆,即
,
于是由引理3的结果知(1)
再由引理1,可设,其中为可逆阵,
再设于是
=
=
=
=
=
=
=
从而由(1)知
再由引理6知此等式在域上同样成立。
若, (2..2)
若时,则()
证明:由引理1知:若
可设,其中为可逆阵,
再设
又
且
所以
法一:由引理7知: ,用得到:
只要证出便可
又
=
=
=
=
=
所以.
法二:实际上由于,则故证毕
:若,则()
证明:由引理4知:
从而
:
:若,则
()